关于函数的连续性的讨论.pdf

Vol . 12 ,No . 5 高等数学研究 Sep . , 2009 　 　　　　　 　　 STUD IES IN COLL E GE MA T H EMA TICS 3 1 辅 导 篇 关于函数的连续性的讨论 ( ) 王晶昕 　吴 岩 　邱堃铭 　辽宁师范大学数学学院 　辽宁大连 　116029 摘 要 　函数在一点处连续 、函数的连续 、一致连续 、绝对连续 、几乎处处连续等都是对函数内在 ε δ 特征的刻画. 通过对它们的 - 定义的分析, 讨论这些重要概念之间的联系与区别. 特别地, 给出函数一 致连续的一个等价条件, 利用这个条件, 可以非常明晰地看出一致连续与绝对连续之间的联系与区别. ( ) 关键词 　连续; 上 下 半连续; 一致连续; 绝对连续; 几乎处处连续. 中图分类号 　O 17 1 1 　问题的提出 函数的连续性概念是数学中的重要概念之一. 而函数的连续性有许多“类型”. 从函数的局部性 质来看, 有 :在点 x 0 处连续, 在点 x 0 处左 、右连续, 在点 x0 处上 、下半连续; 从函数的整体性质来看, 又有 :连续函数 、一致连续函数 、绝对连续函数 、几乎处处连续函数 、基本上连续函数. 理清这些概念 εδ 之间的关系往往是教学与学习中的难点. 本文试图通过对这些连续性概念的 定义的分析, 讨论 这些连续性概念之间的区别与联系, 以备学习和教学的参考. εδ 本文围绕连续性的 定义展开讨论, 先分析函数在某点 x 0 处连续, 左 、右连续, 上 、下半连续 之间的关系, 再讨论定义在区间上的函数的连续性, 一致连续性, 绝对连续性之间的联系与区别. 最后, 分析几乎处处连续 、及基本上连续的意义. 2 　函数在一点处的连续性 函数在一点处的连续性概念可以用极限来刻画 :若函数 f 在点 x 0 的某邻域内有定义, 若 lim f ( x) = f ( x 0) , x →x 0 则称函数 f 在点 x 0 连续. 若函数 f 在区间 I 的任意点处都连续, 则称 f 为区间 I 上的连续函数. 如果是初学者, 按上述方式接受起来是最快的. 但要做深入思考, 应当换个角度. εδ 我们用 语言叙述, 可以发现涉及连续性的概念之间的许多联系与区别. 为简便起见, 我们假定所讨论的函数均为定义在区间上的函数. ( ) ( ) εδ 首先把在一点处连续 、左 右 连续 、上 下 半连续概念的 定义罗列在一起, 就会很清楚的 看到它们的细微的差别 : 定义 2 . 1 　设函数 f 在点 x 0 的某个邻域内有定义. ( ) ε δ δ ( ) ( ) ε 1 f 在点 x 0