小升初牛吃草.doc

牛吃草”问题 有这样的问题.如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么它可供21头牛吃几周？这类问题称为“牛吃草”问题。 　　解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天，每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：①某个时间期限前草场上原有的草量；②这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量.因此，必须设法找出这两个量来。 基础提升 例题精讲： 下面就用开头的题目为例进行分析.（见下图） 　　从上面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量.为了求出一周新生长的草量，就要进行转化.27头牛6周吃草量相当于27×6＝162头牛一周吃草量（或一头牛吃162周）.23头牛9周吃草量相当于23×9=207头牛一周吃草量（或一头牛吃207周）.这样一来可以认为每周新生长的草量相当于（207-162）÷（9-6）=15头牛一周的吃草量。 　　需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量（即15×6=90头牛吃一周的草量）即为牧场原有草量。 　　所以牧场上原有草量为27×6-15×6=72头牛一周的吃草量（或者为23×9-15×9=72）。 　　牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21头牛分成两部分.一部分看成专吃牧场上原有的草.另一部分看成专吃新生长的草.但是新生的草只能维持15头牛的吃草量，且始终可保持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周）.故分出15头牛吃新生长的草，另一部分21-15=6（头）牛去吃原有的草.所以牧场上的草够吃72÷6=12（周），也就是这个牧场上的草够21头牛吃12周.问题得解。 例2 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？ 分析 与解答这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加.所以总水量是个变量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不变的量.对于这个问题我们换一个角度进行分析。 　　如果设每个人每小时的淘水量为“1个单位”.则船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1×3×10＝30. 　　船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。 　　每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差，即（40-30）÷（8-3）=2（即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量）。 　　船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量-3小时漏进水量.3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水量.所以船内原有水量为30-（2×3）=24。 　　如果这些水（24个单位）要2小时淘完，则需24÷2＝12（人），但与此同时，每小时的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需12+2＝14（人）。 　　从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量.有了这两个量，问题就容易解决了。 总结： 1、牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。 它的特点是随着时间的变化，草的总量也在变化，而草的生长速度、牛吃草的速度都是未知的。解决这一问题就得了解有关牧场的草的情况，即找出“新增长的草”和“原有的草”，进而求出问题的解。 2、解决牛吃草问题常用到四个基本公式： ①草的生长速度＝（相应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数） ②原有草量＝相应的牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数。 ③吃的天数＝原有草量÷（相应的牛头数－草的生长速度） 注意：此时可把新生长的草专门给一些牛吃，即草的生长速度即为专门吃新草的牛的头数，这些牛吃的草天天生长，与时间无关。 ④牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。 3、牛吃草问题涉及三种数量：原有的草，新长出的草，牛吃掉的草。牛吃草问题解法上一般分为三个步骤：⑴求草的生长速度；⑵求原有的草量；⑶得到问题的解答。 将1头牛1天的吃草量看作“1”份，又因为一片牧场原有草的份数相等，可求出每天新生长的量 和原有的草量。每天新生长的草的份数可以看做被特定的牛吃，那么剩下的牛吃原有的草，可以求出吃草的时间。 牛刀小试： 1、牧场上有一片青草，每天均匀生长，这片青草可供10头牛吃20天，可供15头牛