12第12讲重积分的计算方法探讨.docVIP

泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称 高等数学研究 授课对象 授课题目 第十二讲　重积分的计算方法探讨 课时数 4 教学 目的 通过教学使学生掌握计算二重积分与三重积分的各种方法。 重 点 难 点 1.化累次积分计算二重积分与三重积分 2(利用极坐标计算二重积分 3、用球坐标计算三重积分 难点是二重积分与三重积分的计算技巧 教 学 提 纲 第十二讲　重积分的计算方法探讨 一、二重积分的计算方法 二重积分的基本计算方法有两种，一是化累次积分的方法,二是极坐标的方法。 1.化累次积分计算二重积分 2(利用极坐标计算二重积分 二、二重积分的计算技巧 3.改变累次积分的次序计算二重积分 4.分割积分区域计算二重积分 5.利用函数的奇偶性化简二重积分 三、三重积分的计算 1 2．用直角坐标计算三重积分（先1后2，先2后1，） 3、用柱坐标计算三重积分 4、用球坐标计算三重积分 教学过程与内容 教学 后记 第十二讲　重积分的计算方法探讨 重积分的计算一方面本身是很重要的，另一方面它是曲线积分、曲面积分和概率统计的基础，分割积分区域、利用函数的奇偶性简化积分和利用对称性（轮换）简化积分是重积分计算的技巧。 一、二重积分的基本计算方法 二重积分的基本计算方法有两种，一是化累次积分的方法,二是极坐标的方法。 1.化累次积分计算二重积分 X((型区域( D ( (1(x)(y((2(x)( a(x(b ( Y ((型区域( D ( (1(x)(y((2(x)( c(y(d ( 　 例1： 计算( 其中D是由直线y(1、x(2及y(x所围成的闭区域( 【解法一】把D看成是X((型区域( 1(x(2( 1(y(x ( 于是 ， 【评注】积分还可以写成( 【解法二】也可把D看成是Y((型区域( 1(y(2( y(x(2 ( 于是 ( 例2( 计算( D是由直线y(1、x((1及y(x所围成的闭区域( 【解】 画出区域D( 可把D看成是X((型区域( (1(x(1( x(y(1( 于是 ( 也可D看成是Y((型区域:(1(y(1( (1(xy ( 于是 ( 2(利用极坐标计算二重积分 有些二重积分( 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便( 且被积函数用极坐标变量( 、( 表达比较简单( 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分( 若积分区域可表示为 D:( 1(()(((( 2(()( (((((( 则 ( 例3( 计算( 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域( 【解】在极坐标系中( 闭区域D可表示为: 0(((a ( 0(( (2( ( 于是 ( 【评注】 此处积分也常写成( 例4 求球体x2(y2(z2(4a2被圆柱面x2(y2(2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积( 【解】由对称性( 立体体积为第一卦限部分的四倍( ( 其中D及x轴所围成的闭区域( 在极坐标系中D可表示为 0(((2a cos( ( ( 于是 ( 二、二重积分的计算技巧 1.改变累次积分的次序计算二重积分 有些题目若把积分区域视为X型积分比较困难，甚至积不出来，但视为Y型区域就好积多了。化累次积分时，除了看积分区域外还应看被积函数。 例5 计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域. 【解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，“先后”积分较容易，所以把D视为Y型区域 . 例6：(1)求 (2)，计算 【分析】这两个几分直接计算都是困难的，但交换累次积分的顺序后计算就简单多了。 2.分割积分区域计算二重积分 　　绝对值函数、分段函数、取整函数，max()，min()往往在积分区域的不同部分有不同的取值，应根据被积函数合理分割积分区域，以正确计算积分 例7设，表示不超过的最大整数. 计算二重积分 【分析】首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可. 【解】令， . 则 = = 【评注】对于二重积分（或三重积分）的计算问题，当被积函数为分段函数时应利用积分的可加性分区域积分. 而实际考题中，被积函数经常为隐含的分段函数，如取绝对值函数、取极值函数以及取整函数等等. 3.利用函数的奇偶性化简二重积分 设函数在区域D上连续，则 （1）如果关于是奇函数，并且D关于Y轴对称,则； （2）如果关于是偶函数，并且D关于Y轴对称,则 。 评论：还有两条类似的结论，（1）能简化二重积分的计算。 例8:设区域，