2.5等比数列的前n项及学案(人教A版必修5).docVIP

2.5　等比数列的前n项和 材拓展 1．等比数列的判定方法有以下几种 (1)定义法：＝q (q是不为0的常数，n∈N*){an}是等比数列； (2)通项公式法：an＝cqn (c，q均是不为0的常数，n∈N*){an}是等比数列； (3)中项公式法：a＝an·an＋2 (an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*){an}是等比数列； (4)前n项和法：若Sn＝A(qn－1)，(A≠0，q≠0且q≠1)则{an}是等比数列，其中A＝. 例如：等比数列{an}的前n项和是Sn＝32－n－t，则t的值是________． 解析　∵{an}是等比数列， ∴Sn＝32－n－t＝9·n－t＝9， ∴t＝9. 答案　9 2．等比数列的通项公式 (1)通项公式 an＝a1qn－1 (其中a1为等比数列{an}的首项，q为其公比)． (2)等比数列与函数的关系 由通项公式an＝a1qn－1，可得an＝qn，当q0，且q≠1时，y＝qx是一个指数函数，而y＝qx是一个不为零的常数与指数函数的积．因此等比数列{an}的图象是函数y＝qx的图象上的一些离散点． 例如：已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，其公比q≠1，且bn0，若a1＝b1，a11＝b11，则a6与b6的大小关系是__________． 解析　∵bn0，∴b10，q0. 点(n，bn)分布在函数y＝qx的图象上． 点(n，an)分布在函数y＝dx＋(a1－d)的图象上． 当q1时，它们的图象如图1所示； 当0q1时，它们的图象如图2所示； 其中直线方程是y＝dx＋(a1－d)， 曲线方程是y＝qx. 直线x＝6与直线y＝dx＋(a1－d)的交点为(6，a6)，与曲线y＝·qx的交点为(6，b6)．无论q1还是0q1都有a6b6. 答案　a6b6 3．等比数列的前n项和 等比数列前n项和公式为 Sn＝ 注意：等比数列前n项和公式有两种形式，运用该公式求和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当公比q不确定时，要注意对q分q＝1和q≠1进行讨论． 例如：1＋a＋a2＋…＋an－1 ＝____________________.(其中a≠0) 答案　 4．等比数列的常用性质 在等比数列{an}中， (1)对任意的正整数m，n，有an＝amqn－m. (2)对于任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则有am·an＝ap·aq. (3)当或时，{an}是递增数列； 当或时，{an}是递减数列； 当q＝1时，{an}为常数列；当q0时，{an}为摆动数列． (4)若Sn为等比数列的前n项和，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，S(m＋1)k－Smk，…成等比数列(q≠－1或k为奇数)． (5)若Sn表示等比数列的前n项和，公比为q，则有 Sm＋n＝Sm＋qmSn. 例如：在等比数列{an}中，a5＝7，a8＝56，则通项an＝____________. 解析　a8＝a5q3，∴q3＝8，q＝2， ∴an＝a5qn－5＝7×2n－5. 答案　7×2n－5 法突破 一、等比数列的判断与证明 方法链接：证明数列是等比数列常用的方法： ①定义法：＝q (常数)； ②等比中项法：a＝anan＋2 (an≠0，n∈N*)； ③通项法：an＝a1qn－1 (a1q≠0，n∈N*)要证明一个数列不是等比数列，只需证明相邻三项不成等比即可．例如：a1a3≠a. 例1　已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数． (1)对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列； (2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论． (1)证明　假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列， 则有a＝a1a3，即2＝λ λ2－4λ＋9＝λ2－4λ9＝0，矛盾． 所以{an}不是等比数列． (2)解　因为bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21] ＝(－1)n＋1 ＝－(－1)n·(an－3n＋21)＝－bn， 又b1＝－(λ＋18)，所以 当λ＝－18时，bn＝0 (n∈N*)，此时{bn}不是等比数列； 当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，由上可知bn≠0， 所以＝－ (n∈N*)． 故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列． 综上，λ＝－18时，{bn}不是等比数列； λ≠－18时，{bn}是等比数列． 二、等比数列基本量运算 方法链接：在等比数列{an}的通项公式和前n项和公式中共有五个量：a1，q，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组求出另外两个量． 例2　设数列{an}为等比数列，且a10，它的前n项和为80，且其中数值最大的项为