2010高考数学一轮-30数列求和及数列实际问题.doc

一．【课标要求】 1．探索并掌数列n项和能在具体的问题情境中，发现数列的关系，并能用有关知识解决相应的问题。n项和Sn与通项an的关系式：an= 。 （2）求通项常用方法 ①作新数列法。作等差数列与等比数列； ②累差叠加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+(a2－a1)+a1 ③归纳、猜想法。 （3）数列前n项和 ①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)； 12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)； 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n2(n+1)2； ②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd； ③等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn； ④裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)－f(n)、=－n·n！=(n+1)!－n!n－1r－1=Cnr－Cn－1r=－n项和，常用错项相消法。, 其中是等差数列， 是等比数列，记，则，… ⑥并项求和 把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn。 数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法 ⑦通项分解法： 2．递归数列 数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k－1,an+k－2,,an)称为数列的递归关系。由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由an+1=2an+1，及a1=1，确定的数列即为递归数列 递归数列的通项的求法一般说来有以下几种： （1）归纳、猜想、数学归纳法证明。 （2）迭代法。 （3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。 （4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题 四．【典例解析】 题型1：裂项求和 例1．已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：。 解析：首先考虑，则=。 点评：已知数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和也可用裂项求和法。 例2．求。 解析：，  点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些。 题型2：错位相减法 例3．设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和。 解析：①若a=0时，Sn=0； ②若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=； ③若a≠1，a≠0时，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan）， Sn=。 例4．已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。 解析：， ①-②得：， 点评：设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。 题型3：倒序相加 例5．求。 解析：。 ① 又。 ② 所以。 点评：Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。 例6．设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和： 解：因为 ， 。 点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列的前项和，是否存在等差数列使得对一切自然数n都成立1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n项和。 解析：本题实质是求一个奇数列的和。在该数列的前n项中共有个奇数，故。 例8．求数列1，3＋，32＋，……，3n＋的各项的和解：其和为(1＋3＋……＋3n)＋(＋……＋)==(3n＋13-n)。 题型5：数列综合问题 例9．（2009湖北卷文）设记不超过的最大整数为[],令{}=-[]，则{}，[], A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B 【解析】可分别求得，.则等比数列性质易得三者构成等比数列. (2009湖南卷理)将正⊿ABC分割成（≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2) 答案 解析 当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知 即 进一步可求得。由上知中有三个数，中 有6个数，中共有10个数相加 ，中有15个数相加….，若中有个数相加，可得中有个数相加，且由 可得所以 = . 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？ （取） 解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列， ①甲方案获利：（万元）， 银行贷款本息：（万元）， 故甲方案纯利：（万元）， ②乙