2015高考数列求及专项训练.docVIP

数列求和专项训练 1．（2011?重庆）设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn． 分析：（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式 （Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn． 解答：解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列 ∴设其公比为q，q＞0 ∵a3=a2+4，a1=2 ∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1 ∵q＞0 ∴q=2 ∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n （Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 ∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1 ∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2 2．（2011?辽宁）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10 （I）求数列{an}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 分析：（I） 根据等差数列的通项公式化简a2=0和a6+a8=﹣10，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可； （II） 把（I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以2得另一个关系式记作②，①﹣②后，利用an的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后，即可得到数列{}的前n项和的通项公式． 解答：解：（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得， 解得：， 故数列{an}的通项公式为an=2﹣n； （II）设数列{}的前n项和为Sn，即Sn=a1++…+①，故S1=1， =++…+②， 当n＞1时，①﹣②得： =a1++…+﹣ =1﹣（++…+）﹣ =1﹣（1﹣）﹣=， 所以Sn=， 综上，数列{}的前n项和Sn=．是一道中档题． 3．（2011?安徽）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作Tn，再令an=lgTn，n≥1． （I）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=tanan?tanan+1，求数列{bn}的前n项和Sn． 分析：（I）根据在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，我们易得这n+2项的几何平均数为10，故Tn=10n+2，进而根据对数的运算性质我们易计算出数列{an}的通项公式； （II）根据（I）的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列{bn}的每一项拆成的形式，进而得到结论． 解答：解：（I）∵在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列， 又∵这n+2个数的乘积计作Tn， ∴Tn=10n+2 又∵an=lgTn， ∴an=lg10n+2=n+2，n≥1． （II）∵bn=tanan?tanan+1=tan（n+2）?tan（n+3）=， ∴Sn=b1+b2+…+bn=[]+[]+…+[] = 点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这n+2项的几何平均数为10，是解答本题的关键． 4．（2010?四川）已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn=（4﹣an）qn﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn． 分析：（1）设{an}的公差为d，根据等差数列的求和公式表示出前3项和前8项的和，求的a1和d，进而根据等差数列的通项公式求得an． （2）根据（1）中的an，求得bn，进而根据错位相减法求得数列{bn}的前n项和Sn． 解答：解：（1）设{an}的公差为d， 由已知得 解得a1=3，d=﹣1 故an=3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n； （2）由（1）的解答得，bn=n?qn﹣1，于是 Sn=1?q0+2?q1+3?q2+…+（n﹣1）?qn﹣1+n?qn． 若q≠1，将上式两边同乘以q，得 qSn=1?q1+2?q2+3?q3+…+（n﹣1）?qn+n?qn+1． 将上面两式相减得到 （q﹣1）Sn=nqn﹣（1+q+q2+…+qn﹣1） =nqn﹣ 于是Sn= 若q=1，则Sn=1+2+3+…+n= 所以，Sn=． 5．（2010?四川）已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+2（m﹣n）2 （1）求a3，a5； （2）设bn=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列； （