3.2线性方程组的1般解法.docVIP

3.2 线性方程组的一般解法 一般地，个未知量，个方程组成的线性方程组可以表示为： 　　　　　　　　（1） 其中是方程组的个未知量，是第个方程中第个未知量的系数，是第个方程的常数项.若记 ， ， 则按矩阵乘法和矩阵相等的定义(1)式可写成 其中矩阵称为线性方程组（1）的系数矩阵， 矩阵称为未知量矩阵，矩阵称为常数项矩阵. 显然,线性方程组解的情况取决于未知量的系数和常数项. 矩阵称为线性方程组（1）的增广矩阵，可以表示为 则线性方程组(1)与其增广矩阵是一一对应的. 如果用常数依次代替线性方程组（1）中的个未知量时,(1)中个方程均成为恒等式,则称为(1)的一个解.此时也称方程组(1)有解,并可表示方程组的解为矩阵形式 也称解矩阵为(1)的一个解向量,或者说是的解. 那么,方程组解的情况如何？是有解还是无解？有解时是有唯一一组解还是有无穷多组解？就是我们将要解决的问题。 回想第一章讲到的线性方程组的特殊情形.设,用克莱姆(Cramer)法则求解方程组,若,即方阵可逆,则线性方程组(1)有且仅有一个解 , 用克莱姆(Cramer)法则只能求解方程的个数与未知量个数相同,并且其系数行列式不为零的线性方程组,随着未知量个数的增加,计算量的增长速度大的惊人.这是该方法的不足之处. 在中学,我们已经学会了用高斯(Guass)消元法解二元、三元线性方程组，归纳用高斯(Guass)消元法解线性方程组的过程，也就是对方程组进行同解变换. 先给出一个定义 定义1 若线性方程组的解都是线性方程组的解;反之的解,也都是的解,则称线性方程组与是同解方程组. 先举一例来回顾一下解线性方程组的消元法. 解线性方程组 解 将第一个方程的倍、倍分别加到第二、第三两个方程上，得到与原方程同解的方程组 在上述方程组中,将第三个方程的1倍、－4倍分别加到第一、第二两个方程上，并交换第二、三两个方程的位置，得同解方程组 第一个方程两端同乘以，第三个方程两端同乘以，得 将第三个方程的倍、1倍分别加到第一、第二两个方程上，得 这就是原方程组的解. 归纳上述解线方程组的过程,不外乎对方程组施行以下三种变换: 交换两个方程的位置; 用一个非零常数乘以一个方程 把一个方程的若干倍加到另一个方程上. 它们统称为线性方程组的初等变换.经过初等变换得到的方程组都与原方程组同解,而解线性方程组的过程,就是利用这三种变换逐次“消元”，使原方程逐步化简为与其同解的、能够直接给出解的方程组。 从例1解答过程中，不难发现，在对方程组施行初等变换时，参与变化的仅是未知量的系数和常数项。因此，对线性方程组施行的初等变换，相当于对增广矩阵 施行初等行变换，反之依然。那么，求解线性方程组的过程，就是用初等行变换将增广矩阵化为简化的行阶梯型矩阵的过程。这时上面的求解过程可以表示为矩阵形式： 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 这时已将增广矩阵化为简化的行阶梯型矩阵，它代表线性方程组 所以此线性方程组的唯一解为 或表示为向量形式 值得注意的是,例1也可以利用克莱姆法则或逆矩阵求解,尽管求解过程不同,但结果一定一样.所以，在以后解线性方程组时，为了书写简明，只需写出方程组的增广矩阵的初等行变换过程即可. 解线性方程组 解 对增广矩阵进行初等行变换，化为阶梯型矩阵，有 　　　　　 　　　　　 所得的阶梯型矩阵第3行与第3行是零行，它们代表同解方程组的第3与第4个方程 这是恒等关系式，对线性方程组的求解不起作用，是多余的方程.这意味着构成此线性方程组的四个方程不是完全有效的,其中的两个方程(如第3个方程与第4个方程)可以去掉,而其余的两个方程(如第1个方程与第2个方程)是有效的方程,而两个有效方程只能求解两个未知量,那么另外的两个未知量可以自由取值,今后对于可以自由取值的未知量称之为自由未知量.不能自由取值的未知量称之为非自由未知量.在方程中的未知量中,如何选择非自由未知量 依据的原则是：由克莱姆法则,对于非自由未知量，其系数行列式不为零。当然，符合这一原则的选择不是唯一的，通常将下脚标较小的未知量选作非自由未知量，下脚标较大的未知量选作自由未知量，在本例题中，得到的阶梯型矩阵的第1行与第2行代表着有效方程组 将含未知量的项移到等号的右端，得 对于未知量，其系数行列式 对任给的未知量的一组值，依据克莱姆法则，得到未知量的唯一解，它们构成线性方程组的一组解，由此得出线性方程组有无穷多解. 对所得的阶梯型矩阵继续作初等行变换,化为简化的行阶梯型矩阵,有 　 所得的简化的行阶梯型矩阵第1行与第2行代表线性方程组 选择为自由未知量, 为非自由未知量,则由表示的表达式为 当自由未知量取任意常数,取任意常数时,此方程组有无穷组解的一般表达式为 ? (,为任意常数