高数A1第七讲连续函数的运算与初等函数的连续性.ppt

第九节 定理3、4 连续函数的复合函数是连续的. 例4, 三、初等函数的连续性 例6. 求 例. 求 内容小结 思考与练习 第十节 一、有界性与最值定理 最大值与最小值：对于在区间I上有定义的函数f(x)? 如果有x0?I? 使得对于任一x?I都有 f(x)?f(x0 ) (f(x)?f(x0 ))? 则称f(x0 )是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）? 例如? 函数f(x)=1+sinx在区间[0? 2π]上有最大值2和最小值0? 函数f(x)=sgn x 在区间(-?? +?)内有最大值 1和最小值-1? 在开区间(0? +?)内? sgn x的最大值和最小值都是1? 函数f(x)=x在开区间(a? b)内既无最大值又无最小值? 定理3. ( 介值定理 ) 例1. 证明方程 内容小结 2. 设 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 三、初等函数的连续性 连续函数的运算与 初等函数的连续性 二、反函数和复合函数的连续性 定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, 在 上连续单调递增， 其反函数 (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调 一、连续函数的和、差、积、商的连续性 二、反函数和复合函数的连续性 综上有，三角函数和反三角函数在其定义域内连续 证: 设函数 于是 故复合函数 且 即 是由连续函数链 因此 在 上连续 . 复合而成 , 基本初等函数在定义域内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例如, 的连续区间为 (端点为单侧连续) 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 5 解: 原式 例7. 求 解: 令 则 原式 说明: 当 时, 有 解: 原式 说明: 若 则有 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续 说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性. 续? 反例 x 为有理数 x 为无理数 处处间断, 处处连续 . 反之是否成立? 作业 P69 3(5) , (6), (7) ; 4 (3) , (4) ,(5) ; 提示: “反之” 不成立 . 一、有界性与最值定理 二、零点定理与介值定理 闭区间上连续函数的性质 第一章 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 则 使 且一定能取得它的最大值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有界 (证明略) 点 , 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 二、零点定理与介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 至少有一点 且 使 ( 证明略 ) 零点? 如果x0 使f(x0 )=0? 则x0 称为函数f(x)的零点? 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: 使 至少有 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 . 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 说明: 内必有方程的根 ; 取 的中点 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根. 二分法 在区间 内至少有 则 则 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当 时, 使 必存在 上有界; 在 在