§5.4指数函数及幂函数的性质.docVIP

§5.4 指数函数和幂函数的性质 预备知识 (函数的定义域和函数的值域 (指数函数和幂函数的图象 重点 (指数函数和幂函数的性质 难点 (指数函数和幂函数的增减性 (指数函数的图象及与底的关系， (幂函数的图象及与指数的关系 学习要求 (掌握指数函数和幂函数的性质 (了解指数函数的图象及与底的关系 (了解幂函数的图象及与指数的关系  在第三章中定义指数函数和幂函数时，我们已经初步介绍了它们的性质．在这一节中，我们在复习已学性质的基础上，将进一步讨论它们的性质，讨论的线索就是上一节所论及的一些内容．经过这一节的学习，使你能对这两个函数有更全面的了解． 1. 指数函数的性质 在第三章已经知道指数函数y=ax的底a0,且a(1；在那里我们还分别作出过指数函数 y=2x, y=3x, y=和y= 等的图象，并且指出这些函数的定义域是(-(,+()；它们的图象无对称性、无周期性． 现在，我们在同一个直角坐标系内，画出这四个指数函数的图象，另外再添上两个指数函数y=4x, y=的图象(见图5-27)． 从图5-27中，你可以看出指数 函数随着a的变化而变化的趋势． 当0a1，a越接近1，在y=1以上 的图象离y轴越远；随着a由1逐渐 减小，y=ax的图象左翘右压，好像在 绕着点(1,0) 作顺时针旋转，逐渐靠向 y轴；而当a1，a越大，在y=1以上 的图象离y轴越近；随着a逐渐减小， y=ax的图象继续左翘右压，仍然好像 在绕着点(1,0)作顺时针旋转，逐渐远离 y轴(见图5-27中圆箭头所示)．当然，上面讲的仅仅是指图象的变化趋势，实际上不同的a，y=ax的图象的线型也是在变化的，而不是简单的旋转． 这种变化趋势，使你在遇到不同的a时，可以估计y=ax的图象的大致位置．例如y=(2.5)x的图象，肯定夹在y=2x与y=3x的图象之间；y=的图象，也肯定夹在y=和y=的图象之间． 依此类推，你能够相信，只要有了y=nx和y=(n=1,2,3,...)的图象，因为任何a(a0, a(1)，当0a1(a()，必定存在一个n0(N*，使 a，因此y=ax的图象会夹在y=的图象与y=的图象之间；当a1(a(n)，也必定存在一个自然数n1(N*，使n1an1+1，因此y=ax的图象会夹在y=(n1+1)x的图象与y=(n1)x的图象之间． 这表明，任何a(a0,a(1)，y=ax的图象，要么就是y=nx和y=(n(N*) 这种图象，要么夹在这种图象之间．因此我们不必如图5-27那样画出众多的指数函数图象，只要分0a1、a1两种情况，画出两条典型的图象作为代表(见图5-28)，就能了解指数函数y=ax的基本性质了．这些基本性质是： (1)任意a0，指数函数定义域为(-(,+(), 值域为(0,+()； (2)任意a0，指数函数既不是奇函数， 也不是偶函数，它的图象既不是中心对称， 也不是关于y轴轴对称； (3)任意a0，指数函数都没有周期性； (4)指数函数的单调性与底a有关： 当a1，y=ax单调增加，且在x((-(,0)， ax1，在x((0,+(,)，ax1； 当0a1，y=ax严格单调减小，且在x((-(,0)，ax1，在x((0,+(,)，ax1． 从图象角度来看，也可得出指数函数y=ax(a0,a(1)图象的一些特性： (1)在x轴的上方，都经过点(0,1)； (2)无任何对称性，无周期性； (3)当a1，图象曲线上升，在y轴左边的图象曲线，位于水平线y=1以下，当x无限减小时，图象无限靠近x轴；在y轴右边的图象曲线，位于水平线y=1以上，当x无限增加时，图象向右上方无限延伸； (4)当0a1，y=ax图象曲线下降，在y轴左边的图象曲线，位于水平线y=1以上，当x无限减小时，图象向左上方无限延伸；在y轴右边的图象曲线，位于水平线y=1以下，当x无限增加时，图象无限靠近x轴． 例1 比较下列指数函数值的大小： (1)y=21.5, y=21.4； (2)y=5-1.4, y=5-1.1； (3)y=0.3 , y=0.4； (4)y=-0.31, y=-0.32． 解 (1)指数函数ax的底a=21，所以函数单调增加，所以21.521.4 ▌ (2)指数函数ax的底a=51，函数单调增加，所以5-1.45-1.1 ▌ (3)指数函数ax的底a=1，函数单调减小，所以0.3 0.4 ▌ (4) 指数函数ax的底a=1，函数单调减小，所以-0.31-0.32 ▌ 例2 把下列各数由小到