2014届高考数学一轮复习名师首选：第六章30《数列的通项与求和》.doc

学案30　数列的通项与求和 导学目标： 1.能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 自主梳理 1．求数列的通项 (1)数列前n项和Sn与通项an的关系： an＝ (2)当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用________求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)． (3)当已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用________求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1···…·. (4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项． (5)归纳、猜想、证明法． 2．求数列的前n项的和 (1)公式法 ①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方法：____________； ②等比数列前n项和Sn＝ 推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n项和： a．1＋2＋3＋…＋n＝________； b．2＋4＋6＋…＋2n＝________； c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝________； d．12＋22＋32＋…＋n2＝________； e．13＋23＋33＋…＋n3＝____________. (2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． 常见的拆项公式有： ①＝－；[来源:学科网] ②＝； ③＝－. (4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (5)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导． 自我检测 1．(原创题)已知数列{an}的前n项的乘积为Tn＝3n2(n∈N*)，则数列{an}的前n项的和为________． 2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，若{Sn}是等差数列，则q＝________. 3．已知等比数列{an}的公比为4，且a1＋a2＝20，故bn＝log2an，则b2＋b4＋b6＋…＋b2n＝________. 4．已知数列{an}的通项公式an＝log2 (n∈N*)，设{an}的前n项的和为Sn，则使Sn－5成立的自然数n的最小值为________． 5．设关于x的不等式x2－x2nx (n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________． 6．数列1,4，7，10，…前10项的和为________． 探究点一　求通项公式 例1　已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝2，求数列{an}的通项公式． 变式迁移1　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 探究点二　裂项相消法求和 例2　已知数列{an}，Sn是其前n项和，且an＝7Sn－1＋2(n≥2)，a1＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn对所有n∈N*都成立的最小正整数m. 变式迁移2　求数列1，，，…，，…的前n项和． [来源:学科网] 探究点三　错位相减法求和 例3　已知数列{an}是首项、公比都为q (q0且q≠1)的等比数列，bn＝anlog4an (n∈N*)． (1)当q＝5时，求数列{bn}的前n项和Sn；[来源:学|科|网] (2)当q＝时，若bnbn＋1，求n的最小值． 变式迁移3　求和Sn＝＋＋＋…＋. 分类讨论思想 例　(5分)二次函数f(x)＝x2＋x，当x∈[n，n＋1](n∈N*)时，f(x)的函数值中所有整数值的个数为g(n)，an＝(n∈N*)，则Sn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋(－1)n－1an＝______________________. 答案　(－1)n－1 解析　当x∈[n，n＋1](n∈N*)时，函数f(x)＝x2＋x的值随x的增大而增大，则f(x)的值域为[n2＋n，n2＋3n＋2](n∈N*)，∴g(n)＝2n＋3(n∈N*)，于是an＝＝n2. 当n为偶数时，Sn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋an－1－an＝(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－[3＋7＋…＋(2n－1)]＝－·＝－； 当n为奇数时，Sn＝(a1－a2)＋(a3－a4)＋…＋(an－2－an－1)＋an ＝Sn－1＋an＝－＋n2＝， ∴Sn＝(－1)n－1. 【突破思维障