读懂相对论，从弯曲空间的几何开始.docVIP

读懂相对论， 从弯曲空间的几何开始？ 年轻的俄罗斯数学家罗巴切夫斯基突发奇想，将古老欧氏平面几何的“平行公理”稍作改变，创立了逻辑上同样完整而严密，但看起来却有些古怪的“非欧几何”。最初，人们对此嗤之以鼻，认为这不过是疯子数学家玩的游戏而已。 不过，那些嘲笑罗巴切夫斯基的人没有料到，几十年之后，非欧几何在爱因斯坦的广义相对论中找到了用武之地。它正是广义相对论中描述的一种弯曲空间所遵循的几何！ 古老的几何学 几何是一门古老的学科，在公元前由几何大师欧几里德创立，至今两千多年威力不减。 欧几里德几何是一个漂亮的公理系统，它只需要设定几条简单的、符合直觉、大家公认、不证自明的命题（称为公理或公设），然后从这几条命题出发，推导证明其它命题，继而推导证明更多命题，如此继续下去，一套数学理论便建立起来了。这就像是建造高楼大厦，“公理”就是水平放在地基第一层的大“砖块”，有了牢靠坚实的基础，其它砖块便能够一层一层叠上去，万丈高楼也就能够平地而起。基底砖块破缺了，或者置放得不平稳，楼房就可能会倒塌。 欧几里德平面几何的公理有五条。他就从这简单的五条公理出发，推演出了所有的平面几何定理，建造出欧氏几何的宏伟大厦。 数学逻辑推理创造的奇迹令人吃惊。不过，当人们反复思考这几条公理时，觉得前面4条显然都是不言自明的，唯有第五条公理比较复杂，听起来不像一个简单而容易被人接受的直觉概念。于是，人们就自然提出疑问：这第五条是公理吗？它是否可以由其它4条公理推导出来？大家的意思就是说，欧氏平面几何的大厦用前面4块“大砖头”可能也就足以支撑了。这第五块砖头，恐怕本来就是放置在另外四块砖头之上的。 欧氏平面几何的第五条公理也称为“平行公理”，可表述为：“过直线外的一点，有且仅有一条平行线。” 一位名叫尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky，1792 - 1856）的年轻俄罗斯数学家突发奇想：如果将这条公理稍稍改变一下，也就是说，将大厦下面的某块基石稍微移动一下，会产生什么样的后果呢？比如说改成：“过直线外的一点，至少有两条平行线。” 这一改非同小可，几字之差，生出了与欧氏几何完全不同的另一种几何，人们称之为“非欧几何”或“罗氏几何”。非欧几何的大厦同样拔地而起、稳固牢靠，逻辑上完整而严密，但看起来却有些古怪。 罗氏几何体系得到古怪而不合常理的命题是必然的，因为被罗巴切夫斯基改变之后的第五公设，本身就与人们的日常生活经验不相符合。过平面上直线外的一点，怎么可能作出多条不同的直线与已知直线不相交呢？由此而建造出来的数学逻辑大厦，当然会是个怪物。比如说，罗氏几何导出了如下古怪的命题：同一直线的垂线和斜线不一定相交；不存在矩形，因为四边形不可能四个角都是直角；不存在相似三角形；过不在同一直线上的三点，不一定能作一个圆；一个三角形的三个内角之和小于180度……这种奇怪的“几何大厦”，能有什么用处呢？有人嗤之以鼻，心想，不过是疯子数学家玩的游戏而已！ 那些嘲笑罗巴切夫斯基的人没有料到，几十年之后，非欧几何在爱因斯坦的广义相对论中找到了用武之地，它正是爱因斯坦广义相对论描述的一种弯曲空间所遵循的几何！ 几何上的无穷小 不过，真正与广义相对论弯曲空间有关的是“黎曼几何”，它比上面所说的非欧几何更进了一步，属于微分几何。 欧几里德之后，笛卡尔发明了解析几何，牛顿和莱布尼茨发明了微积分。两者之结合使得那个时代的数学和物理如虎添翼，面目一新。像罗巴切夫斯基那样使用传统的公理方法来研究几何，显然要输人一筹。欧拉、克莱洛、蒙日以及高斯等人认识到了这一点，创立并发展了微分几何。 微分几何的先行者、法国数学家亚历克西斯·克莱洛（Alexis Clairaut，1713 - 1763）对空间曲线进行了深入研究，第一次研究了空间曲线的曲率和挠率（当时被他称之为双重曲率）。 什么是曲线的曲率和挠率？我们从图1a所示的三条平面曲线来认识曲率。图中的三条曲线，就像是三条形状不同的平地上的高速公路。 图1：曲线的曲率和挠率 我们首先需要引进曲线的切线，或称之为“切矢量”的概念。切矢量即为，当曲线上两点无限接近时，它们的连线的极限位置所决定的矢量。图1a所示的公路上标示的箭头，便是在曲线上各个点切矢量的直观图像。而曲率是什么呢？曲率表征曲线的弯曲程度。比如，图1a中最上面一条公路是直线，直线不会拐弯，我们说，它的弯曲程度为0，即曲率等于0。切矢量旋转得越快，曲线的弯曲程度也越大。所以，数学上就把曲率定义为曲线的切矢量对于弧长的旋转速度。 平地上弯弯曲曲的公路可以看作是平面曲线，用“曲率”就可以描述它们。如果公路是修建在山区中，它们一边转弯一边还要盘旋向上或者向下。这时候，汽车驶过的路径便不再是平面曲线，而是空间曲线了。对于山间的公路，如图1b所示，我们除了可以看到其弯曲的程度之外，还