函数的零点和二分法.ppt

§4.1 函数的零点 有12个球,其中有一个比别的球重,你用天平称几次可以找出这个球?次数越少越好 ? 第一次,两端各放6个,低的那端有重球. 第二次,两端各放3个,低的那端有重球. 第三次,两端各放1个,如果平了,剩下的那个就是,否则低的那端那个就是! 问题1．能否求解以下几个方程 (1) x2-2x-1=0 (2) x3+3x-1=0 由图可知：方程x2-2x-1=0 的一个根x1在区间(2,3)内，另一个根x2在区间(-1,0)内． 思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？ 1．简述上述求方程近似解的过程 课堂小结 二分法定义 二分法是求函数零点近似解的一种计算方法. 2.解题步骤 ①确定初始区间 ②计算并确定下一区间，定端点值符号 ③循环进行，达到精确度。 3. 感悟重要的数学思想：等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼近的思想. * 方程的根 函数的图象与x轴的交点 函数y=ax2 +bx+c (a0)的图象 y=x2-2x+3 y=x2-2x+1 y=x2-2x-3 函　　数 x2-2x+3=0 x2-2x+1=0 x2-2x-3=0 方　　程 上述一元二次方程的实数根?二次函数图象与x轴交点的横坐标 (方程根的个数是对应函数图象与x轴交点的个数） 填空： x1=-1，x2=3 x1=x2=1 无实数根 2 -2 -4 3 -1 1 2 O x y 4 2 3 -1 1 2 O x y 4 2 3 -1 1 2 O x y 两个交点 (-1,0)，(3,0) 一个交点 (1,0) 没有交点 问题1:从该表你可以得出什么结论？ 问题2:这个结论对一般的二次函数和方程成立吗？ 方程的根 函数的图象与x轴的交点 函数y=ax2 +bx+c (a0)的图象 y=x2-2x+3 y=x2-2x+1 y=x2-2x-3 函　　数 x2-2x+3=0 x2-2x+1=0 x2-2x-3=0 方　　程 结论：一元二次方程的实数根就是 相应二次函数图象与x轴交点的横坐标． 由特殊到一般性的归纳： x1=-1，x2=3 x1=x2=1 无实数根 2 -2 -4 3 -1 1 2 O y 4 2 3 -1 1 2 x O x y 4 2 3 -1 1 2 O x y 两个交点 (-1,0)，(3,0) 一个交点 (1,0) 没有交点 判别式Δ Δ 0 Δ= 0 Δ 0 方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根 两个不相等的 实数根x1 、x2 有两个相等的 实数根x1 = x2 没有实数根 x1 x2 x1 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 问题3:其他函数与方程之间也有同样结论吗？ 方程f(x) =0的实数根 函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标 我们把使二次函数y=x2-2x-3的值为0的实数x（即方程x2-2x-3=0的实数根）称为二次函数y=x2-2x-3的零点，它就是y=x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标 y＝ f(x) f(x)=0 y＝ f(x) y＝ f(x) 一般地，我们把使函数y＝ f(x) 的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点. 函数的零点是数不是点 方程f(x) =0 的实数根 函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标 函数y=f(x)的零点 函数零点方程根，形数本是同根生。 形 数 例2:求下列函数的零点. 函数的零点是实数而不是点。 1（代数法）求零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点 2．（图象法）找出函数图象与x轴的横坐标 x y o 例3．已知函数y=x2-2x-1. （1）求证：该函数有两个不同的零点; （2）它在区间（ 2 , 3）上存在零点吗? (-1 , 1) 2 3 -1 若f(2)·f(3)0，则二次函数y＝f(x)在区间(2，3)上存在零点. 观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象： 在区间[-2，1]上有零点______； f(-2)=_______，f(1)=_______， f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）． 在区间(2，4)上有零点______； f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）． －1 －4 5 3 探究: 2 -2 -4 1 O 1 -2 2 3 4 -3 -1 -1 y x 问题4:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？ 零点存在性的探究： 发现：函数零点的左右两侧函数值乘积小于0 观察函数的图象并填空: ①在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)． 在区间(a,b)上______(有/无)零点