《概率论及数理统计》5-1 中心极限定理.pdf

第五章随机变量序列的极限 概率论的基本任务是研究随机现象的统计规律性. 引进 随机变量之后, 我们集中研究了随机变量取值的统计 规律性. 在一个具体问题中, 这种统计规律性往往通过 大量的重复观测来体现, 对大量的重复观测作数学处理 的常用方法是研究极限. §5.1 大数定律law of large numbers 在§1.3中, 我们曾经提到频率的稳定性. 设随机事件A 的概率P(A)=p , 在n重贝努利试验中事件A f A 发生的频率为 n   .当n很大时, 将与p 非常接近. 由 于f A 本质上是一个随机变量，它随着不同的n次试 n   验可能取不同的值, 因而需要对随机变量序列引进新 的收敛性定义. 定义5.1 依概率收敛 设X ,X , 是一个随机变量序列. 如果存在一个常数c 1 2 使得对任意一个正数 , 总有  lim P  X n c   1 n 则称随机变量序列X ,X , 依概率收敛于c 1 2 记作: P X c n 定理5.1 如果 P P 且函数 X n a ,Yn b , g x, y 在a,b 处连续, 则 P g X n ,Yn g a,b  下面, 考虑频率的稳定性 定理5.4 贝努里大数定律 设X ,X , 是一个随机变量序列. 且每一个随机变量 1 2 都服从0-1分布B 1, p  , 则 P X p 证明关键步骤: 1 E X p ,D X p 1 p       n 定理5.3 独立同分布情形下大数定律 设X ,X , 是一个独立同分布的随机变量序列. 且 1 2 2 则 P E X ,D X  .     X  证明关键步骤: 1 2 E X ,D X      n 定理5.2 切比雪夫大数定律 设X ,X , 是两两不相关的随机变量序列. 且 1 2 方差一致有界. 则 1 n P 1 n X i