古典概型公理化体系.ppt

3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型： 有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/ N(N ≥ n) ，求指定的n个站各有一人下车的概率. 旅客 车站 3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型： 某城市每周发生7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸的概率. 车祸 天 你还可以举出其它例子，留作课下练习. 我们介绍了古典概型. 古典概型 虽然比较简单，但它有多方面的应用. 是常见的几种模型 . 箱中摸球 分球入箱 随机取数 分组分配 课下可通过作业进一步掌握. 早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法——几何方法. 几何方法的要点是： 1、设样本空间S是平面上某个区域，它的面积记为μ(S); S 该点落入S内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关. S 2、向区域S上随机投掷一点， 这里“随机投掷一点”的含义是: 3、设事件A是S的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为 S A 4、假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用 确定，只不过把 理解为长度或体积即可. S A 几何方法的要点是： 1、设样本空间S是平面上某个区域，它的面积记为μ(S); 2、向区域S上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”的含义是指该点落入S 内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关. 3、设事件A是S的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域S上随机投掷一点，该点落在区域A的概率为 （*） 4、假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向S上随机投掷一点的含义如前述，则事件A的概率仍可用（*）式确定，只不过把 理解为长度或体积即可. 例：蒲丰投针问题。 在平面上画着一些平行线，他们之间的距离都等于a, 向此平面任意投一长度为k,ka的针，试求此针与任意 平行线相交的概率。 例：贝特朗奇论。 在半径为1的园内随机的取一条弦，问其长超过圆内 等边三角形的边长1.732的概率等于多少？ 实际上，许多随机试验的结果并不都是有限个，而且，即使是有限个，也未必是等可能的. 而几何方法的正确运用，有赖于“等可能性”的正确规定. 即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率. 下面介绍用公理给出的概率定义. 1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义. 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单， 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦. 概率的公理化定义 公理2 P(S)=1 　　　　　　 (2)　 公理3 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有 　　 (3) 这里事件个数可以是有限或无限的 . 公理1 0 P(A) 1 　　　　　　　(1) 设E是随机试验，S是它的样本空间，对于S中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函数 P( ) 满足下述三条公理: 公理2 P(S)=1 　 (2)　 公理3 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有 　　 (3) 这里事件个数可以是有限或无限的. 公理 1 0 P(A) 1 　　(1) 公理1说明，任一事件的概率介于0与1之间； 公理2说明，必然事件的概率为1； 公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和. 由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质. 下面我们就来给出 概率的一些简单性质. 在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于文氏图. 文氏图 　　　　　　　　 Ａ 设边长为1个单位 的正方形的 面积表示样本空间 S 其中封闭曲线 围成的一切点 的集合表示事件 A 把图形的面积理解为相应事件的概率