第三章离散小波变换(小波分析课件).ppt

第三章 离散小波变换 3.1 尺度和位移的离散化方法 对于连续小波而言，尺度a、时间t和与时间有关的偏移量τ都是连续的。如果利用计算机计算，就必须对它们进行离散化处理，得到离散小波变换。 本章主要内容 尺度和位移的离散化方法 小波框架理论 二进小波变换 3.1 尺度和位移的离散化方法 为了减小小波变换系数的冗余度，我们将小波基函数 的a、τ限定在一些离散的点上取值。 离散化方法 （1）尺度的离散化。目前通行的做法是对尺度进行幂数级离散化。即令a取 离散化方法 （2）位移离散化。 通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴， τ满足Nyquist采样定理。在a=2j时，沿τ轴的响应采样间隔是2j τ0，在a0=2情况下，j增加1，则尺度a增加一倍，对应的频率减小一半。此时采样率可降低一半而不导致引起信息的丢失。 因此在尺度j下，由于 的宽度是 的 倍，因此采样间隔可扩大 ，而不会引起信息的丢失。 可写成： 离散小波变换的定义为： 一般，取a0=2，则a=2j，τ=2jkτ0，则采样间隔为τ=2jτ0 当a=2j时，τ的采样间隔是 2jτ0 ，此时， 变为： 一般，将τ0归一化，即τ0=1，于是有： 此时，对应的WTf为： 离散化过程中的两个问题 一、离散小波能否完全表征函数f(t)的全部信息。 二、是否任何函数f(t)都可以表示为以 为单位的加权和。即 如果可以，系数 如何求？ 3.2 小波的框架理论 3.2.1 框架 1 框架的定义 在希尔伯特空间H中有一族函数 ，如果存在0AB∞，对所有的f∈H，有： 称 是H中的一个框架。 常数A、B的意义。 框架的定义 若A=B，则称为紧致框架，此时： 如果A=B=1，则 此时， 是正交框架，若 ， 则 是规范正交基。 2.对偶框架的定义 对偶函数： 的对偶函数 也构成一个框架，其框架的上下界是 上下界的倒数。即： 3. 通过框架对原函数进行重建 重构定理：令 为其对偶框架，则f(t)通过下式重构： 如果A=B=1，这时 是一组正交基，所以重建公式为： 通过框架对原函数进行重建 在紧框架情况下， 如果 ，我们定义算子S如下： 求逆，得： 这时，只有 ，重构公式才成立。 当 的时候，如果A，B越接近，上式的误差越小。 4. 框架和Riesz基 Riesz基的定义： 设有 满足下列要求： 便意味着 ，也就是要求 是一组线性独立族。 则称 为一组Riesz基。 3.2.2 小波框架 1.小波框架的定义： 如果当基本小波函数ψ（t）经伸缩和位移引出的函数族 具有如下性质： 我们称 都成了一个框架，上式为小波框架条件。 其频域表示为： 的对偶函数 也构成一个框架。 2.小波框架的性质 （1）满足框架条件的 ，其基本小波必定满足容许性条件。 （2）离散小波变换具有非收缩时移共变性。 （3）离散小波框架 存在冗余性。 3.离散小波变换的逆变换 如果离散小波序列 构成一个框架，上下界为A和B，根据上节讨论的函数框架重建原理，当A=B时，离散小波的逆变换为： 当 时，但二者比较接近时，作为一阶逼近，可取 所以重建公式近似于： 同样，A和B越接近，误差就越小。 在紧框架情况下， 点的WT为： 将f(t)代入上式有： 式中 3.3 二进小波变换 二进小波的表示形式。 3.3.1 二进小波变换及其逆变换 令小波函数为 ，其傅立叶变换为 ，若存在常数A，B，当 ，使得 此时， 才是一个二进小波，上式为二进小波的稳定性条件。 定义函数 的二进小波变换系数为： 其中： 设 的傅立叶变换为