大学实变2.ppt

第二节 映射 集的对等 可列集 １ 映射的定义 3 对等 例 5. 可列(数)集 推论1 推论2 定理2.2 可 列 个 可 列 集 的 并 集 是 可 列 的 6 不可列集(区间[0,1]是不可列集) * * 第一章 集与点集 定义1：设A,B是两个非空集合，若依照对应法则 f，对A中的每个x，均存在B中唯一的y与之对应，则称这个对应法则 f 是从 A 到 B 的一个映射， 记作 f: A→B 定义2：若对任意的x1,x2∈A, 当x1≠x2时，有f(x1) ≠f(x2) ，则称f为单射。 定义3：若 f: A → B 既单又满，则称f是一一映射。 证明的过程略 2 集合运算关于映射的性质（像集） 1）设A,B是两非空集合，若存在着A到B的 一一映射（既单又满），则称A与B对等, 注：当两个有限集对等时，它们的元素 个数一定相同。那么无限集呢？ 记作 约定 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,... 1,3,5,7,9,11,13,15,... 2,4,6,8,10,12,14,16... n 2n-1 2n 0,1, -1, 2, -2, 3, -3, 4 , -4,... …,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,... 例 注意到[0,1]中的有理数全体可写成： {0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …} 对所有非零有理数均可写成p/q的形式， q0,p≠0，p、q均为整数。把所有有理数 按|p|+q的大小顺序排列（0排第一位）， 再逐个编号，就形成了与N的一一对应。 例 （注：可做映射f使得f(1)=0, f(1-1/n)=1-1/(n+1)，n≥1） 4 Bernstein定理 例：由 可知 ； 并且R中任何有限区间及无限区间都与R对等，即 [a, b] ～(a, b) ～(a, b] ～[a, b) ～(-∞,b) ～(a, ∞) ～R。 试问如何构造(a, b)与(a, b]间的既单又满的映射。 Bernstein定理的证明 fλ Bernstein定理的证明 证明: A B g f Bernstein定理的证明 A B g g f f f A B f g f f g Bernstein定理的证明 Bernstein定理的证明 此处都是关于映射g, 如果不是同一映射, 则不一定成立. 注：A可列当且仅当A可以写成无穷序列的形式{a1, a2, a3, …}，即A的元素可用自然数编号，不一定能按大小次序排列 1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1, a2, a3, a4, a5, a6, … 例：1）Z = {0，1，-1，2，-2，3，-3， …} 与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集 2）[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …} 假设这是一个无限集A 我们可以取出其中一个点a1 显然A\{a1}还是无限集 在A\{a1}中可以取出一点a2 显然A\{a1，a2}还是无限集 我们可以取出一个可列子集{a1,a2,a3,...} 定理2.1 任何无限集合均含有可列子集 可列集的子集至多是可列的 (可列集的子集或为有限集或为可列集) 凡无限集必与它的一个真子集对等 (充要条件) 定理 有限集与可列集的并仍为可列集 记A={a1, a2, a3, …, an, …} 则A∪B={ b1, b2, b3 , … , bm ，a1, …, an, …} B={b1, b2, b3, … ,bm}(m个元素) 当Ai互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列; 当Ai有公共元时，在排列的过程中除去公共元素； A1 A2 A3 A4 假设这是集合A 从中可以取出可数子集M 很容易将M一分为二M1,M2， 使得两个都是可数集 A\M M={a1, a2, a3, a4, a5, a6, …} M1 ={a1, a3, a5, …} M2={a2, a4, a6, …} 取A*=(A\M)∪M1=A-M2即可 例 说明：由此我们可得任一无限集一定存在它的一个真子 集与它有相同多的“元素个数” [ ][ ][ ] 0