扩展有限元法(XFEM)漫谈-我XFEM学习经验分享.pdf

扩展有限元法(XFEM)漫谈 0. 引言 2012 年笔者在图书馆偶然看到清华大学庄茁教授编写的 《扩展有限单元法》一书[1]， 意识到扩展有限元法 （XFEM ）可能是一种很有应用前景的数值方法，遂跟导师商量更换了 研究方向，确定了“用扩展有限元方法模拟岩石破裂过程”这一方向，详见 [2]。而在此之前， 笔者的主要研究内容是“基于ANSYS 的岩石材料本构开发”，见[3] 。在博士研究课题进行过 程中，笔者基于Matlab 编写了扩展有限元程序并用于计算博士论文中的全部算例[2]。博士 研究课题完成后，笔者花了近半年时间将原来基于Matlab 编写的程序用Fortran 进行了重写 和优化，功能、计算速度和稳定性都得到了很大的提升。笔者目前的研究方向是基于扩展有 限元法的水力压裂过程模拟。四年多的XFEM 学习和科研过程中，不断的遇到并解决各种 问题。尤其是在3 万多行Fortran 程序的编写过程中，笔者积累了不少关于XFEM 的经验， 而这些经验对于初学者而言或许有些益处。 1. XFEM 简介 扩展有限元法由Belytschko 教授提出于1999 年[4]。有限元法在模拟断裂问题时的缺点： （1）裂缝每扩展一步，都要进行网格划分；（2 ）裂尖网格必须划分的很密，以便较为精确 的模拟裂尖应力场以及计算裂尖应力强度因子；（3 ）某些情况下，新旧网格之间需要进行数 据的转换，这会进一步增加模拟过程复杂度。而XFEM 恰好能克服有限元法的上述缺点， 对于XFEM ：（1）裂纹扩展过程中无需重新划分网格；（2 ）裂尖不需要加密；（3 ）因为使用 同样的网格，所以不存在数据传递的问题。对于扩展有限元法，单元内任意高斯点 x 的位 移可表示为下式 （该式是XFEM 的核心）： n mh u x x u ( )  N ( )  N ( x) H x H x a xfem  j j  h  ( )  ( h ) h j 1 h1 (1-1) mt  4 l   N ( x) F ( x) F ( x ) b  k  l l k  k  k 1 l 1  u 其中，n 为单元常规有限元节点数，N 为形函数， 为常规有限元节点自由度向量，mh 为 j j 裂纹面两边增强节点数，H ( x) 是高斯点x 处的Heaviside 函数值，H (x ) 是增强节点h 处 h a F (x ) 的Heaviside 函数值， 为裂纹面两边增强节点自由度向量；mt 为裂尖增强节点数， l h F (x ) bl 是裂尖增强函数在高斯点x 处的值， l