本征能量.PPT

(a) EV0，在势垒外的经典允许区(x0, xa)，能量本征方程为 假定粒子从左侧入射，则方程(30)的解为 则入射流密度 反射流密度 透射流密度 E 0 V0 a (b) EV0，在势垒内部的经典禁区(0 xa)，能量本征方程为 方程(36)的解为： 由x=0处波函数及其一阶导数连续得 由此可得： 由x=a处波函数及其一阶导数连续得 由此可得： 由(39), (40) 消去A, B得： 消去R得 则 则透射系数是 注：双曲函数 反射系数 可以验证 0 a V(x) x V0 入射波+反射波 透射波 粒子隧穿效应：粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象。 设βa1,则 ，则透射系数可近似为 可见：透射系数灵敏地依赖于粒子的质量m，势垒宽度a，以及 (V0-E)。在一般宏观条件下，T很小。 例如: (1)宏观情形 (2)微观情形 在E V0的情况下，从(38)可见，只要将β→ik′ 利用 透射系数(44)可以改写成 2.2.5 方势阱的反射、透射与共振 方势阱的反射与透射与方势垒类似，只不过要作变换V0→-V0（ V0 0） 此时 则透射系数为 可见：当V0=0时， k=k，则T=1,此时无势阱，无反射； 当V0≠0时， T0，即粒子有一定的概率被势阱弹回，这完全 是一种量子效应。 对于给定势阱，透射系数随入射粒子能量E的变化关系见下图 E 0 T(E) 由(51) 可见： 如EV0，则一般T值很小，除非入射粒子的能量 E合适，使得sinka=0, 此时T=1，无反射，这种现象称为共振 透射。透射条件是 或 物理意义： 入射粒子进入势阱后，碰到两侧阱壁时将发生反射与 透射。如果粒子的能量合适，使它在阱内的波长满足nλ=2a，则 经过壁各次反射而透射出去的波的相位相同，因而使波相干叠加， 使透射波的波幅大增，从而出现共振透射。 与此相反，当 或 反射最强。 由式(50)、(52)可求出共振能级 a 0 0 a E1 E2 E3 E4 -V0 -V0 E0 E0 E0 共振能级 共振能级 0 无限深方势阱中束缚态 有限深方势阱中束缚态 与共振态 §2.4 一维谐振子 势函数 能量本征方程 理想谐振子是无限深势阱，只存在束缚态，即 引入无量纲参量 V(x) x O 则方程(3)可化为 方程(7)的解为 令方程（6）的通解为 代入(6)得： 上述方程式Hermite方程，ξ=0是方程的常点（方程的系数在该 点是解析的），可在ξ=0的邻域用幂级数展开求解 方程（10）是一Hermite方程，其通解为一个无穷级数。在 ξ→∞时，u(ξ)~eξ2, 不满足束缚态的边界条件。为保证其解满足 束缚态边界条件，必须要求u中断为一个多项式。可以证明 方程(10)有有意义解得条件为 因此谐振子的能量为 利用Hermite多项式的正交性公式 此即振子的能量本征值。 §2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 设质量为m的粒子沿x轴运动，势能是V(x)，则薛定谔方程是 定态波函数的形式为 (2)代(1)可得 粒子能量的本征方程 若不作特别说明，有 定理1 设Ψ(x)是方程（3）的解，对应的能量本征值为E，则Ψ*(x) 也是方程(3)的解，对应的本征能量也是E。 证明： 薛定谔方程为 两边取复共轭，并注意到 即 也是方程 (3)的解，对应的本征值也是E 推论： 假设对应于能量的某个本征值E，方程(3)的解无简并， 则可取为实解。 得 证明：若 是对应能量E的一个解，则 也是对应能量E的解。因能级无简并，则有 两边再取复共轭得 则 取 则 定理 2 对应于能量的某个本征值E, 总可以找到方程(3) 的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表示为 这组实解得线性叠加。 证明：设Ψ是方程(3)的对应于某一能量E的一个解。 如果Ψ是实解，则将其归入实解集合。 如果Ψ是复解，则Ψ*也是方程(3)的解，对应的本征值也是E。 则它们的线性组合 也是方程(3)的解，对应的本征值也是E。 则 -----------证毕 定理 3 设V(x) 具有空间反射不变性，即 如Ψ(x)是方程(3)的对应于能量本征值E的解， 则Ψ(-x)也是方程(3)的对应于能量E的解。 证明：当x→-x时， 由于V(x)=V(-x)，则薛定谔方程可化为 ---------证毕 空间反射算符P： 在直角坐标下：r→-r 在球坐标下：r→-r 推论： 若势函数具有空间反射不变性，如果对应于某能量E，方程 (3)的解无简并，则解必有确定的宇称。 证明：由定理(3)，Ψ(x)与Ψ(-x)是同一解，即 或 偶宇称解 奇宇称解