用向量证明平面几何中的定理.doc

示例2：用向量证明平面几何中的定理 奉贤中学 金 纲 ?背景? 在向量整章知识学习完以后，学生对于向量能解决平面几何与立体几何中的计算问题已有了一定的了解，而且学生对于用向量来证明几何中的垂直和平行问题很感兴趣，有一部分同学对于几何中的证明在独立地或互相讨论地进行探索。为了帮助学生改变原有的单纯接受式的学习方式，在开展有效的接受学习的同时，形成一种对知识进行主动探求的积极的学习方式，所以在向量的复习课上让学生通过自主探索和小组合作的研究性学习方式，来用向量的知识解决平面几何中的定理证明。同时为了教学的方便，对原有的课堂模式进行重新安排，全班分为八组，自由结合，每组学生围坐在一起，而且借助实物投影仪进行全班展示。以提高效率。 ?案例? 一上课就让学生看高二数学第一学期教材第63页例题4在三角形ABC中，已知D , E分别是边AB与AC上的中点，求证：DEBC，且和习题册第29页第4题直，向学生说明不但能运用向量的知识解决立体几何中的证明和计算等问题，而且还能运用向量的知识解决平面几何中一些定理的证明。然后让每位学生独立地选择一个自己比较熟悉或感兴趣的平面几何中的定理，然后运用向量的知识进行证明。过了一会儿，周同学问：是用向量的运算还是用向量的坐标运算来证明？周围一片笑声。孙同学说：只要能证明，管它用什么？朱同学说：那应该还有哪种方法更简单吧。周同学恍然大悟：我明白了，只要选择运算简单的就可以了。展示结束以后每组评选出本组的最佳成果，要求视野独特，证明过程正确而简洁，实物投影仪上，然后一个一个展示，展示以后其他各组同学可以提问或发表自己的想法。 第一个同学( a , 0 ) , D( b , c )，则= { b , c } , = { a , 0 }，∵，∴= m={ mb , mc }，( a+mb , mc ) ∵，∴= n={ na , 0 }，( b+na , c )， ∴m = 1 , n = 1，∴=,=，即BC = AD , DC = AB， ∴平行四边形的对边相等。 其他组的一位同学迫不及待地问到：“为什么不是直接得出点C的坐标为( b+a , c )?”。那位展示的同学不慌不忙地回答：“如果直接得出点C的坐标，其实已经知道对边相等了。这种证法关键就在于利用平行来得到点C的坐标。”其他同学有的在思考，有的表示肯定地点点头。 这时第二同学实物投影仪上，落落大方地说：我们是用向量的运算来证明的，因为我们已经知道平行四边形的对角线互相垂直，所以如图，由平行四边形的对角线互相平分和相等向量的定义可得：，而，=，同理=，即BC = AD , DC = AB，∴平行四边形的对边相等。比起上一种证法要简单多了。 这时一位女同学大胆地站起来说：“其实不用向量来做也可以，而且比较简单，只要用三角形全等就可以了。”而另一位同学也说：“平行四边形的对角线互相平分本来就是用对边相等来证明的，这是循环论证。我认为还是第一种证法比较好。”大家在下面纷纷讨论了起来。这时教师决定放弃原来的展示其它成果的设想，而把这一学生发现的问题放手让学生讨论，以他们的能力来解决这一问题。于是教师说：“各小组讨论一下这两种证法，比较两者的优劣。”于是大家更热烈地讨论起来，一会儿朱同学说：“用向量来证明平面几何中的定理应在平面几何的体系中进行，所以我们认为第一种证法有说服力，而第二种证法需借助平行四边形的对角线互相平分，不太合理。”黄同学有点激动地说：“既然是用向量来证明平面几何中的定理，当然可以借助平行四边形的对角线互相平分这一定理，更何况第一种证明也借助于平行四边形的定义。”而孙同学认为：“第一种证法也可以不用向量，而用三角形的全等。”数学课代表陆晔说：“我认为这不是主要的问题。其实我们是在探索一种方法，即用一种知识去解决另一种知识，所以我认为两种证法都不错，因为分别采用了向量中的两种不同的方法。”其他同学纷纷附和，一场纠纷在同学们立意比较高的状态下结束了。 于是教师让每组同学根据上述的展示归纳出用向量的方法来证明平面几何中的定理的方法，然后让其中一组的同学来表述，一位同学说：首先要建立平面直角坐标系，设各点的坐标，建立各线段对应的向量的坐标，然后运用向量坐标的运算来证明。话音未落，卫同学说：如果不用向量坐标的运算证明，还建什么系？我认为先确定选用什么方法证明，然后把线段转化为向量，再用向量的知识证明。大家频频点头，认可卫同学的说法。顺势说：那么能否用这种方法来解决其它问题呢？这时教室内一片争执的声音，同意和不同意的同学分成了两派，互相想说服对方。成立一个课题小组，共同研究探索《向量的运用》这一课题。今天的作业是把各位的成果整理在作业本上，同时写今天这节课的感想。 ?反思? A B D C y x A O D C B