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理数 第5章　数列 5-1a [A级　基础达标](时间：40分钟) 1．数列，－，，－，…的第10项是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案　C 解析　an＝(－1)n＋1，a10＝－，选C项． 2．[2017·上饶模拟]已知数列{an}满足an＋1＋an＝n，若a1＝2，则a4－a2＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　D 解析　由an＋1＋an＝n，得an＋2＋an＋1＝n＋1，两式相减得an＋2－an＝1，令n＝2，得a4－a2＝1. 3．已知数列{an}对于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝，则a36＝(　　) A. B. C．1 D．4 答案　D 解析　因为ap＋q＝ap＋aq，所以a36＝a32＋a4＝2a16＋a4＝4a8＋a4＝8a4＋a4＝18a2＝36a1＝4. 4．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　解法一：令n＝2,3,4,5，分别求出a3＝，a5＝，∴ a3＋a5＝. 解法二：当n≥2时，a1·a2·a3·…·an＝n2.当n≥3时，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2.两式相除得an＝2，∴a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝. 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ1”是“数列{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an0，即2n＋12λ对任意的n∈N*都成立，于是有32λ，λ，由λ1可推得λ，但反过来，由λ不能得到λ1，因此“λ1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件．故选A. 6．[2017·大连双基测试]数列{an}的前n项和Sn＝2n，则an＝________. 答案　 解析　∵n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，又n＝1时，a1＝S1＝2，不符合上式，∴an＝ 7．[2017·陕西检测]已知正项数列{an}满足an＋1(an＋1－2an)＝9－a.若a1＝1，则a10＝________. 答案　28 解析　∵an＋1(an＋1－2an)＝9－a，∴an＋1－an＝±3. ∵an0，∴an＋1－an＝3.又a1＝1，∴a10＝28. 8．[2015·全国卷Ⅱ]设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________. 答案　－ 解析　∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，又由a1＝－1，知Sn≠0，∴－＝1，∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－. 9．已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝9－6n，求数列{an}的通项公式． 解　令Sn＝a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an， 则Sn＝9－6n， 当n＝1时，a1＝S1＝3； 当n≥2时，2n－1an＝Sn－Sn－1＝－6， ∴an＝－.而n＝1时，a1＝3，不符合上式， ∴通项公式an＝ 10．[2017·合肥模拟]已知数列{an}满足：a1＝1,2n－1an＝an－1(n∈N*，n≥2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)这个数列从第几项开始及以后各项均小于？ 解　(1)n≥2时，＝n－1， 故an＝·…···a1 ＝n－1·n－2·…·2·1 ＝1＋2＋…＋(n－1)＝， 当n＝1时，a1＝0＝1，即n＝1时也成立， ∴an＝. (2)∵y＝(n－1)n在[1，＋∞)上单调递增， ∴an＝在[1，＋∞)上单调递减． 当n≥5时，≥10，an＝ ≤， ∴从第5项开始及以后各项均小于. [B级　知能提升](时间：20分钟) 11．[2017·吉林模拟]若数列{an}满足a1＝，an＝1－(n≥2且n∈N*)，则a2016等于(　　) A．－1 B. C．1 D．2 答案　D 解析　∵a1＝，an＝1－(n≥2且n∈N*)， ∴a2＝1－＝1－＝－1，∴a3＝1－＝1－＝2，∴a4＝1－＝1－＝，…，依此类推，可得an＋3＝an，∴a2016＝a671×3＋3＝a3＝2，故选D. 12．已知数列{an}的首项a1＝1，其前n项和Sn＝n2an(n∈N*)，则a9＝(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由Sn＝n2an，得Sn＋1＝(n＋1)2an＋1，所以an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，化简得(n＋2)an＋1＝nan，即＝，所以a9＝··…··a1＝×××…×××1＝＝. 13．设{an}是首项为1的正项数列，且