26 小球在空气中竖直上抛运动的规律.ppt

{范例2.6} 小球在空气中竖直上抛运动的规律 一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直上抛。在运动过程中，小球所受空气阻力的大小与速率成正比，比例系数为k。(1)求小球上抛过程的速度和高度与时间的关系，速度和高度有什么关系？小球上升的最大高度和到达最大高度的时间是多少？(2)求小球落回原处的时间和速度。 [解析](1)小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向竖直向下，取竖直向上的方向为正，根据牛顿第二定律得方程 分离变量得 积分得 小球速度随时间的变化关系为 {范例2.6} 小球在空气中竖直上抛运动的规律 由于v = dh/dt，所以 小球高度随时间的变化关系为 积分得 小球速度随时间的变化关系为 根据高度与时间的关系和速度与时间的关系，可得高度与速度的关系。 当小球上升到最高点时，其速度为零。 小球到最高点所需要的时间为 小球上升的最大高度为 可见：小球上升到最高点的时间和高度由比例系数和初速度决定。 {范例2.6} 小球在空气中竖直上抛运动的规律 当k→0时，利用公式ex →1 + x，可得 这是不计空气阻力时竖直上抛运动的速度公式。 即 v→v0 – gt。 [讨论] 再利用公式ex →1 + x + x2/2，可得 这是不计空气阻力时竖直上抛运动的高度公式。 利用公式ln(1 + x)→x，可得 这是不计空气阻力时小球竖直上升最大高度的时间。 即 再利用公式ln(1 + x)→x – x2/2，可得 这是不计空气阻力时小球竖直上抛运动的最大高度。 不论初速度为多少，小球的速度随时间逐渐减小，直到零为止。 初速度越大，小球到达最高点所需要的时间越长。 不论初速度为多少，小球的高度都随时间增加，开始的时候几乎直线增加，在最高点附近缓慢增加，直到最大高度为止。 初速度越大，小球达到的最大高度越高。 不论初速度为多少，小球的速度随高度都减小，在最高点速度为零。 {范例2.6} 小球在空气中竖直上抛运动的规律 (2)求小球落回原处的时间和速度。 [解析](2)当小球从最高点竖直下落时，速度方向向下，空气阻力的方向向下，取向下的方向为正，根据牛顿第二定律得方程 分离变量得 积分得 小球速度随时间的变化关系为 由于v = dh/dt，所以 积分得 这是小球下落的高度与时间的关系。 当小球落回原处时，h = H，可得 这是关于时间的超越方程。 如果求得时间T，即可求得小球落回原处的速度。 {范例2.6} 小球在空气中竖直上抛运动的规律 (2)求小球落回原处的时间和速度。 [讨论] 当k→0时，利用公式ex→1 + x，得 这是不计空气阻力时小球自由下落的速度。 利用公式ex→1 + x + x2/2，得 这正是自由落体下落的高度公式。 再利用公式ln(1 + x)→x – x2/2，得 T→v0/g。 化简得 这是不计空气阻力时小球自由下落到原处的时间。 上升的初速度越大，小球上升的高度就越大。 当初速度比较大时，小球上升的高度随时间几乎呈直线增加。 上升的初速度越大，小球达到最大高度所需要的时间越长，但是小于小球从最高点下落到原处的时间。 小球在空气中上升和下落到原处的总时间比不计阻力的总时间要短。 上升的初速度越大，小球回到原处的速度也越大，与小球上升的初速度相差也越大。