初等函数与连续函数定义.ppt

初等函数、连续函数 基本初等函数 初等函数 复合函数 连续函数 微积分研究的对象主要是函数，特别是连续函数 常见的连续函数如初等函数（初等连续函数在其定义域内是连续的） 初等函数的基础是基本初等函数 分段函数 恩格尔系数 在统计学上饮食消费占日常支出的比例称为恩格尔系数，它反映了一个国家或地区富裕的程度，是国际通用的一项重要的经济指标。 恩格尔系数（%）= 食品支出总额 /家庭或个人消费支出总额×100% 恩格尔系数 联合国根据恩格尔系数(x)来划分一个国家国民富裕程度。 x 20：绝对富裕 20≤x40：比较富裕 40≤x50：小康水平 50≤x60：刚够温饱 60≤x：贫困 基本初等函数 常值函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 1. 常数函数 (常值函数) y=C (C为常数) 定义域为 （－∞，＋∞） 值域为 { C } 5. 三角函数 6. 反三角函数 由基本初等函数得到新的函数 四则运算 复合 其它： 如积分 复合函数 复合函数的分解 把一个复合函数分成不同层次的函数 基本初等函数，以及对基本初等函数作有限次四则运算与有限次函数复合运算而得到的由一个式子表示的函数叫做初等函数。 连续函数的几何直观 能够一笔画成的曲线所对应的函数叫做连续函数 连续函数不仅是微积分研究的对象，而且微积分基本上只能处理连续函数 可导的函数要求函数具有连续性 可积的函数本质上是连续函数 例一 例二 函数在某点连续的定义 连续的要点 有定义 极限存在 极限值与函数值相等 例 例二 左、右连续 回忆函数在某点连续的定义 左连续的定义？ 连续与左右连续的关系 在一点处连续 当且仅当在该点处 既左连续又右连续 例： 正整指数的幂函数 在区间 内连续 更多在 连续的函数 常值函数 有理整函数 有理分式函数 引入一些记号 函数在一点处连续的本质特征 自变量变化很小时， 函数值的变化也很小 Or 自变量的改变量是无穷小量时， 对应的函数值的改变量也是无穷小量 例如，气温的变化等都是连续的 人口的变化 例 证明正弦函数 内连续 同理可证：余弦函数在实数集上也是连续的 函数的间断点 函数的不连续点称为函数的间断点，有三种情况 连续函数在连续点处的极限值 等于函数在该点处的函数值 初等函数的连续性 初等函数在其定义域内是连续的 初等函数的来源 基本初等函数 由基本初等函数作了一些运算而得到的函数 四则运算 复合函数的连续性 初等函数的来源之基本初等函数 常值函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 单调连续函数的 反函数仍然是单调连续的 初等函数的来源之基本初等函数运算 四则运算 复合函数的连续性 连续函数的四则运算 两个连续函数的代数和仍是连续函数 两个连续函数之积仍是连续函数 两个连续函数之商仍是连续函数（分母不为零） 连续函数的复合函数仍是连续函数 初等函数在其定义域内是连续的 闭区间上连续函数的性质 例 例 另外一个观点看连续性 改写成 改写成 在区间 极限符号与函数符号可以交换次序 例1：分解复合函数 例1：分解复合函数 例2：分解复合函数 例2：分解复合函数 初等函数的例子 补充定义一 补充定义二 如果函数 在 不连续，则称点 为该函数的一个间断点 * * 2. 幂函数 幂函数 幂函数 当n增加时 的图像 3.指数函数 指数函数 4. 对数函数 对数函数 注意b的增加对函数图形的影响 注意b的增加对函数图形的影响 正割函数 余割函数