第二章(第4节)单自由度系统的自由振动.ppt

2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.5 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 2.4 有阻尼系统的自由振动 在振动过程中，不可避免地存在着阻力。阻力可能来自多方面。例如，两物体之间在润滑表面或干燥表面上相对滑动时的阻力;物体在磁场或流体中运动所遇到的阻力;以及由于材料的粘弹性产生的内部阻力等等。在振动中,这些阻力称为阻尼。 1．干摩擦阻尼 2．结构阻尼 3．流体阻尼 4．粘性阻尼 阻尼的分类： (2.4-1) 阻尼的定义 粘性阻尼 两接触面之间有润滑剂，摩擦力则决定于润滑剂的“粘性”和运动的速度。两个相对滑动面之间有一层连续的油膜存在，阻力与润滑剂的粘性和速度成正比，其速度的方向相反，即 (2.4-2) 阻尼的存在将消耗振动系统的能量。消耗的能量转变成热能和声能(噪声)传出去。在自由振动中，能量的消耗导致系统振幅的逐渐减小而最后使振动停止。 式中c称为粘性阻尼系数，单位为N·s/m。 有阻尼自由振动微分方程的建立 图2.4-1表示有粘性阻尼的振动系统，试建立粘性阻尼的衰减振动的微分方程。 取铅垂向下的坐标轴x，以物体的静平衡位置O为原点，向下为正。由牛顿运动定律，有 (2.4-3b) 或 (2.4-3a) 有粘性阻尼的振动系统的自由振动微分方程。 图 2.4-1 粘性阻尼的衰减振动的求解 其中s是待定常数，代入式(2.4-3)，可得 设 (2.4-4) (2.4-5) 有 (2.4-6) 上面的代数方程为有粘性阻尼振动系统的特征方程，有两个根s1和s2 (2.4-7) 粘性阻尼的衰减振动的求解 使式(2.4-7)根号内的项等于零，亦即s1与s2为等值时的阻尼系数值，称为临界阻尼系数。记为cc，即 (2.4-9) 式中,?n为无阻尼时振动系统的固有频率。 于是微分方程(2.4-3)的通解为 (2.4-8) 式中，B1和B2为任意常数。决定于运动的初始条件。 引进了ζ以后，微分方程(2.4-3)和特征方程(2.4-6)可以改写为 引进阻尼比ζ(或称相对阻尼系数)，有 (2.4-10) (2.4-11) (2.4-12) 则特征方程的根为 (2.4-13) 粘性阻尼的衰减振动的求解 下面分别就ζ 1， ζ =1及ζ 1的三种情况讨论有粘性阻尼振动系统的解的性质。 1．小阻尼情况(即ζ 1，ccc) 式中 。则解式(2.5-8)为 (2.4-14) (2.4-15) 令 (2.4-16) ?d 通常称为阻尼自由振动的圆频率。 关于解的讨论——小阻尼振动系统 关于解的讨论——小阻尼振动系统 设在t=0时，有x=x0, ，则代入解(2.4-15)及其导数 t=0时 解得 将 与 代入式(2.4-15)即得系统对于初始条件 与 的响应 关于解的讨论——小阻尼振动系统 根据欧拉公式 ，则 式(2.4-15)可以简化为 式中D1=B1+B2，D2=i(B1-B2),为待定系数。仍决定于初始条件。 (2.4-17) 设在t=0时，有x=x0, ，则代入解式(2.4-17)及其导数，得 关于解的讨论——小阻尼振动系统 在t=0时有 解得 经 与 代入式(2.4-17)即得系统对于初始条件 与 的响应。 经过三角函数变换D1=Asin?，D2=Acos?，方程的解(2.4-17)可以简化为 (2.4-18) 式中A与?为待定常数，仍决定于初始条件。 关于解的讨论——小阻尼振动系统 设在t=0时，有x=x0, ，则代入解式(2.4-18)及其导数，得 在t=0时有 或 解得 将A与?代入式(2.4-18)即得系统对于初始条件 与的 响应。 关于解的讨论——小阻尼振动系统 当t??， x?0，振动最终将消失，所以小阻尼的自由振动也称为衰减振动。 由解(2.4-18)可见，系统振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲