cadcam实验贝齐尔(Bezier)曲线曲面的生成方法.doc

1贝齐尔曲面设计 1.1 贝齐尔曲面定义 设为个空间点列，则m×n次Bezier曲面定义为： （式2-1） 其中 ，是Bernstein基函数。依次用线段连接点列中相邻两点所形成的空间网格，称之为特征网格。 Bezier曲面的矩阵表示式是： （式2-2） 在一般实际应用中，n、m不大于4。 (1) 双线性Bezier曲面 当m=n=1时 u，w∈[0,1] （式2-3） 定义一张双线性Bezier曲面。 已知四个角点之后，则 (式2-4) (2) 双二次Bezier曲面 当m=n=2时 （式2-5） 由此式定义的曲面，其边界曲线及参数坐标曲线均为抛物线。 (3) 双三次Bezier曲面 当m=n=3时 (式2-6) (式2-7) 其矩阵表示为 （式2-8） 1.2 贝齐尔曲面性质 1．Bezier曲面特征网格的四个角点正好是Bezier曲面的四个角点，即 P(0,0)=P00 P(1,0)=PM0 P(0,1)=P0N P(1,1)=PMN 2. Bezier曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier曲面的四条边界；Bezier曲面边界的跨界切矢只能与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关，且 P00P10P01, P0nP1nP0,n-1, Pm0Pm-1,0Pm1, 分别是四个角点的切平面；跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶点有关。几何不变性、凸包性、对称性等性质可由Bezier曲线的相关性质容易推广得到。 图2-1 阴影三角形 1.3 贝齐尔曲面算法 Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法，可以推广到Bezier曲面的情形。若给定Bezier曲面特征网格的控制顶点：和一对参数值（u,v），则： 式（2-9） 一条曲线可以表示成两条低一次曲线的组合，一张曲面可以表示成低一次的四张曲面的线性组合。 其中： 式（2-10） 或： 式（2-11） 上面给出了确定曲面上一点的两种方案。当按(1)式方案执行时，先以u参数值对控制网格u向的n+1个多边形执行曲线de Casteljau算法，m级递推后，得到沿v向由n+1个顶点构成的中间多边形。 再以v参数值对它执行曲线的de Casteljau算法，n级递推以后，得到一个，即所求曲面上的点。 也可以按(2) 式方案执行，先以v参数值对控制网格沿v向的m+1个多边形执行n级递推，得沿u向由m+1个顶点构成的中间多边形。再以u参数值对它执行n级递推，得所求点。 1.4 程序设计步骤 1.4.1 Bezier曲面的生成 Bezier曲面是基于Beizer曲线而定义的，有特征网格决定其大致形状，而特征网格是由控制点确定的。因而，绘制Bezier曲面的步骤与绘制Bezie曲面的步骤是一致的： 第一，定义控制点序列； 第二，定义一个二维评价器； 第三，激活二维评价器； 最后，创建网格。 定义一个二维评价器的函数为：glMap2d()或glMap2f()函数，glMap2d()函数的原型为： Void glMap2d(GLenum target, GLdouble u1, GLdouble u2, Glint ustride, Glint uorder, GLdouble v1, GLdouble v2, Glint vorder, Glint uorder, const GLdouble * points); 其中，target参数表示评价器最后生成的坐标类别，它可以取表2-1中的一个常量： 常 量 含 义 GL_MAP2_VERTEX_3 用（x,y,z）描述一个控制点 GL_MAP2_VERTEX_4 用（x,y,z,w）描述一个控制点 GL_MAP2_INDEX 控制点代表一个颜色素引值 GL_MAP2_COLOR_4 控制点是RGBA颜色值 GL_MAP2_NORMAL 控制点是一个法线向量 GL_MAP2_TEXTURE_COORD_1 控制点是一个纹理坐标的s分量 GL_MAP2_TEXTURE_COORD_2 控制点是一个（s,t）纹理坐标 GL_MAP2_TEXTURE_COORD_3 控制点是一个（s,t,r）纹理坐标 GL_MAP2_T