研究分析数学物理方法（MethodofmathematicalPhysics）.ppt

太原师范学院 物理系 焦志莲 数学物理方法（Method of mathematical Physics） 复变函数论 复变函数论 复数 复变函数 导数 解析函数 本章小结 复数 数的扩张（完善化） 自然数 减法不封闭→整数 除法不封闭→有理数 不完备√2 →实数 方程可解性→复数 复数 复数的表示 代数表示 z = x + iy x = Real(z), y = Imagine(z) 三角表示 z = r (cosφ + i sinφ) r = |z|, φ= Arg(z) 指数表示 z = r exp(iφ) exp(iφ) = cosφ + i sinφ 复数 几何表示 关系 x = r cosφ y = r sinφ r = √(x2+y2) φ= Arctan(y/x) 特点 无序性 复数无大小 矢量性：复数有方向 复数 运算 加减法 (x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2) 乘除法 r1exp(iφ1)× r2exp(iφ2) = r1r2 exp[i(φ1+φ2)] 幂和开方 [r exp(iφ)]n = rn exp(inφ) [r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n) 复共轭 z = x + iy → z* = x – iy z = r exp(iφ) → z* = r exp(-iφ) 复变函数 概念 定义 函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射 实变函数：f:x→y 复变函数：f:z→w 举例 f(n) = fn = (1+i)n, n∈N f(z) = zn f(z) = exp(z) f(z) = ln(z) 复变函数 更多的例子 w = az2 w = az2 + bz +c w = 1/(az + b) w = √(az + b) w = Ln(az + b) w = sin z w = Arccos z w = ∑ an zn w = ∑ an sin(nωz) w = ∏(1-z2/n2?2) w = ∫exp(-z2)dz 复变函数 复变函数 分析与比较 定义域和值域 相同点：都是数集 不同点： 实数集是一维的，可以在(直)线上表示； 复数集是二维的，必须在(平)面上表示。 典型例子： |x|2 是连通的， 1|x|是不连通的； |z|2是单连通的， 1|z|是复连通的。 复变函数 映射 相同点 在形式上：y = f(x), w = f(z) 不同点 在变量上：z = x+iy, w = u+iv 在描述上： 实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示； 复变函数不能用一个图形完全表示。 联系 u = u(x,y), v = v(x,y) 可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。 复变函数 结构 相同点： 复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。 不同点： 基本实变函数 xn, x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x) 基本复变函数 zn, z1/n,exp(z),ln(z) 原因 cos(z)=(eiz +e-iz)/2, sin(z)=(eiz -e-iz)/2i 复变函数 基本函数 二次函数 定义:w = z2 分析 u + iv = (x+iy)2 = x2 +2ixy -y2 u = x2 -y2 , v = 2xy 性质 对称性、无周期性 无界性、单值性 复变函数 三次函数 定义：w = z3 分析 u + iv = (x+iy)3 = x3 +3ix2y-3xy2 -iy3 u = x3 – 3xy2 , v = 3x2y - y3 性质 对称性 无周期性 无界性 单值性 复变函数 指数函数 定义：w = exp(z) 分析 u + iv = exp(x+iy) = exp(x)[cosy +i siny] u = exp(x) cos y , v = exp(x) sin y 性质 不对称性 周期性 exp(z+2πi)= exp(z) 无界性 单值性 复变函数 对数函数 定义：w = Ln(z) 分析 u + iv = Ln [ r × exp(iφ)] = ln r + iφ u = ln r, v = φ 性质 对称性 非周期性 无界性 多值性：φ=argz+2kπ (k=0,1,2,……) 复变函数 三角函数 定义：w = sin(z) 分析 u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y) + i