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数学模型在GPS高程传递方面应用摘要：远距离、高精度的跨障碍高程传递一直是工程测量中的一个难点，传统方法的困难来自于远距离观测的分辨率过低。随着跨越距离的增大，其精度迅速降低甚至无法观测(如跨越距离超过10km)。GPS技术具备解决上述问题的潜力。GPS观测数据经处理后，可得到两点间的基线向量及高精度的大地高差，通过数学模型转换，将GPS定位所获得的大地高转换为我国所采用的正常高。 目前，广泛采用的GPS高程转换方法是GPS水准拟合高程。本文对GPS数学模型（二次曲面模型，多面函数模型）拟合法进行了详细的论述。 关键词：高程传递长距离 GPS技术数学模型 中图分类号：P216文献标识码： A 文章编号： GPS测量与传统的控制测量相比，具有革命性的发展。首先是己知点不需通视，能在恶劣的天气下工作。其二，基线可以达到上百米甚至上千公里，这在传统测量方式和手段下是不可想象的。其三，测量时间大大的缩短，各种经费相对降低。其四、GPS精密定位精度很高。目前，GPS定位技术已基本取代了用常规测角、测距手段建立大地控制网。GPS观测得到的是大地高，大地高是以椭球面为基准的高程系统。而我国采用的是以似大地水准面为基准正常高系统，所以本文的工作重心即在于利用数学模型将GPS定位所获得的大地高转换为我国所采用的正常高。 一、GPS高程传递方法概述 GPS高程传递即已知某测区一些点的大地高和正常高，来拟合该测区其他未知点的高程异常，以达到高程传递的目的。该拟合的过程及高程转换的过程。一般来说，转换GPS高程的方法主要有以下几种。 1.利用重力测量方法求高程异常 2. 数学模型拟合法 3. 平差转换法 4.联合平差法 5.神经网络法 二、. 数学模型 在某个区域内，如果有一定数量的已知水准点（已知正常高），我们可以在这些已知高程的水准点上施测GPS，那么，每点的高程异常值就可以根据算式=-计算得到。然后，再利用一个函数来模拟该区域的似大地水准面的高度，这样我们就可以用数学内插的方法求解区域内任一点的高程异常值。此时，如果在区域内某点上通过GPS测量得到了，我们可以用模拟好的数学模型求的该点的，进而可以求的该点的正常高。 数学模型主要包括平面函数法、二次曲面函数法、多面函数法 1、二次曲面函数法 在一定范围内，若正常重力的变化可以忽略不计时，相对于参考点P，此区域高程异常的模型为： 可表达为： 式中：即参考点的高程异常；、即、分别为参考点在、方向的垂线偏差； 即 是垂线偏差的变化率；是各点与点的坐标差。 可见上式为一二次曲面模型，当只取、、三项时，上式即变为平面拟合模型。在较小范围内，且高程异常变化平缓的地区，即当不大于.1／km，且=y ≤ l KM时，(3-2-2)式中的二次项才不大于l mm。因此，在精密GPS水准中，通常不宜以平面模型代替二次模型。 2、多面函数法 多面函数法作为一种优良的内插方法，无论在DEM内插中，还是在GPS点的高程异常内插中，都可以获得令人满意的内插结果。多面函数法是从几何观点出发，解决根据数据点形成一个平差的数学曲面问题。其理论根据是认为“任何一个圆滑的数学表面总可以用一系列有规则的数学表面总和，以任意的精度逼近”。即某点的高程异常的表达式为： 式中：为待定参数，为核函数，()为中心点，n为中心点的个数。核函数一般采用正双曲型函数形式，如： 式中称为平滑因子。核函数有许多形式，不同的核函数适用于不同的情况，因此在处理问题时应注意核函数的选取。 若有已知高程异常点的个数mn,可任选其中n个点为核函数的中心点，令： 则各高程异常点应满足： 通过数学运算，得出以下表达式 这里为权系数，显然Pi的大小代表了在确定中所作的“贡献”的大小，因此，可以认为是各的加权平均值，其中权系数可由解方程求得。由上述公式可以看出，权系数Pi的大小决定着的大小，而权系数Pi的大小又与核函数的选择有关。所以的内插精度与选用的核函数有关。同时要考虑=1，以检查方程是否病态。 三. 应用分析 为比较几种数学模型拟合高程的效果和精度, 以某工程的控制网为例进行分析。针对GPS高程拟合的各种方法，通过对该控制网内控制点位置的选择。对拟合结果从点位选取位置、核函数形式选择、多面函数拟合中心点点位的选择等几个方面对拟合结果精度进行对比、分析和研究，得出以下结论: 在某一区域中，通过选用合适的已知点，利用函数法拟合，可以达到必要的精度，而且可大大减小外业工作的操作强度。 同一测区，不同的拟合方法高程拟合结果不同，其影响可达厘米级，所以在拟合计算时，必须选择合适的拟合方法。