数形结合思想在有规律计算中应用.docVIP

数形结合思想在有规律计算中应用数形结合是数学解题中常用的思想方法，所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。我们在研究抽象的“数”的时候，往往要借助于直观的“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。数形结合可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，它兼有“数”的严谨与“形”的直观。华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”小学生在探究有规律的计算过程中，通过“数”与“形”的结合，有助于把握计算的本质，找到规律。 一、以形助数，揭示数量关系 以形助数是数形结合的一个分类，将数转化为形，能使许多抽象的关系直观化、形象化，可以使一些较复杂的问题简单化。有规律的计算用以形助数不仅能避免繁杂冗长的计算与推理，而且对问题会有更深刻更全面的认识，使学生在解题中更得心应手。 例如，解决这样一个问题：一杯牛奶，小明第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就这样每次都喝了上一次剩下的一半，问小明喝了四次后，一共喝了这杯牛奶的几分之几？列式为+++，学生大多通过通分求得四次共喝这杯牛奶的几分之几。这时我提出问题：如果继续这样喝下去，可以+、+……还用通分的方法去计算显得较麻烦，显然这并不是最好的解题策略。观察这组加数有何特点，能不能探索到计算规律呢？一石激起千层浪，这时“数形结合”的解题思想应运而生。如右图， 用正方形表示“1”，一次又一次地平均分，在画图的同时让学生体会到各加数之间的关系，用正方形中的相关部分分别表示每一个加数，整个图形的阴影部分表示这些加数的和，很显然，阴影部分面积＝1-空白部分面积。 学生将有规律的分数求和转化成图形时，发现了这样的规律：在加法算式中，如果后一个加数依次是前一个加数的，结果就等于第一个加数的2倍减去最后一个加数。 数形结合的方法能有效将题目中抽象的数量关系直观形象地表示出来，从而降低解题难度。通过画图，不仅能让我们学会解决某一道题，更重要是能让我们找到解决一类题的方法，发现其中的规律。学生正是在这样的学习过程中，体会“数形结合”的思想。 二、以数解形，拓展解题思路 “形”具有形象直观的优势 ，但也有其粗略 、繁琐和不便于表达的劣势，只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力。利用点阵图可以很好地体现以数解形的特点。 学生在图形的帮助下，了解图形中点的个数1，4，9，16，25……这些有规律的数是完全平方数。这些看似简单的图形是否蕴藏着奥秘呢？带领学生动手画一画，探究规律。如右图：以5乘5的正方形点阵为例，通过拐角分，你发现了什么，用算式如何表示？学生小组交流合作，尝试着列出算式：1=1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16，1+3+5+7+9=25。再提问思考：以此类推1+3+5+7+9+11=？1+3+5+……+99=？从中你发现了什么规律？学生积极探索着图与数之间的规律：从图来看，每一个正方形数都可以写成几个连续奇数的和，奇数的个数与点阵中的行数和列数相同。从数来看，从1开始的n个奇数相加等于n乘n：1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n×n。 点阵图除了拐角分，还可以怎样分？让学生换角度去思考，大胆的猜想，动手分一分。这时有学生提出还可以斜着分。如右图：斜着分，观察图形可以写成的计算形式是：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25。那么，其他的点阵图是否也能找到这样的规律呢？再尝试着画画其他的点阵图，验证一下。如果是n×n点阵图，你会怎样表示呢？研究发现每一个正方形数都可以写成从 1开始连续加到点阵中的行数再递减加到1的连加算式，进而学生们发现了求和的重要公式：1+2+3+4……+（n-1）+n+（n-1）+……+4+3+2+1=n×n。 同一个图形，从不同角度去看，会发现不同的规律。以“形”为起点 ，使学生探究出更多的“数”计算规律。数形结合能给我们解决问题带来一个全新的思路，由形想数，利用数来研究形的各种性质，寻求规律，可以从不同的角度培养学生思维的灵活性。运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程。 数形结合百般好，可以将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利地、高效率地学好数学知识，更有利于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强，使教学收到事半功倍之效。在实际教学中，数和形往往是紧密结合在一起，相互并存的。因此，教师要把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，使数与形相得益彰。 （责编　黄春香） 1