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第一讲 §1.1 二阶、三阶行列式 一、二阶行列式 二元一次方程组的代入消元解法： 不可能同时为0，不妨设，则： 得： 得（消去）： 即： 将(4)代入(1)得： 可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数以及常数项表示出来， 如果规定记号，则有： ， 因此二元一次方程组的解可以表示为： 定义1. 1 记号表示代数和，称为二阶行列式。即： 说明（1）：行列式中的元素用小写英文字母表示，下标的两个数据表示该元素所在的行和列，分别叫行标和列标。一般行列式中位于第i行第j列的元素记为，比如是指位于第二行第一列的元素。 说明（2）：二阶行列式表示的代数和，可以用画线（图1-1）的方法记忆，即实线连接的两个元素的乘积减去虚线连接的两个元素的乘积。 例1 计算下列行列式的值 （1） （2） （3） 解：（1） （2） （3） 二、三阶行列式。 定义1. 2 记号表示代数和： 称为三阶行列式，即： = 说明：三阶行列式可以用画线的方法记忆。如图1-2，其中各实线（主对角线方向）连接的三个元素的乘积是代数和中的正项，各虚线（副对角线方向）连接的三个元素的乘积是代数和中的负项。 例2 计算下列三阶行列式 解：= = 有了二阶、三阶行列式的定义，自然要考虑一般的n阶行列式的计算方法。为了给n阶行列式下定义，首先需要了解有关排列与逆序的知识。 §1.2 n阶行列式 三、n阶行列式 n阶行列式的计算规律可以从二阶、三阶行列式的定义中体现出来，为了掌握n阶行列式的计算，有必要从下面三个方面来剖析n阶行列式： 1．项数：n阶行列式共有n!项，n阶行列式的值是它的n!项的代数和； 2．每一项的结构：n阶行列式的每一项都是n个数码的乘积，这n个数码是取自n阶行列式的不同行不同列的。 因此n阶行列式的一项，将每一数码的行标全部取出来，对应一个n级排列（数码来自n个不同的行）；将每一数码的列标全部取出来，也对应一个n级排列（数码来自不同的列）。比如二阶行列式中的一项，行标排列21，列标排列21；此项也可以写作，此时行标是自然排列12，列标排列是12。再如，三阶行列式中的一项，行标排列132，列标排列213；也可以将此项按行标或列标自然排列来书写（按行标自然排列），此时列标排列为231；（按列标自然排列），此时行标排列为312。 注意：n阶行列式的一项是行列式中n个元素的乘积，但是，并不是随意从n阶行列式中抽出n个元素将它们相乘都是n阶行列式的一项。如果这n个元素的行标或列标不是n级排列，则可以断定不是行列式的一项。 例8 判断下列乘积是否4阶行列式的一项： （1） （2） （3） 解：（1）由于4阶行列式的一项有4个元素组成，而这里只有3个元素，所以不是 （2）是 （3）其行标取出为1234，列标取出为2234（不是4级排列），从列标可知有两个元素都是取自第二列的，因此不是4阶行列式的项。 3．项的符号：n阶行列式的项，在行标自然排序下，列标为偶排列的取正号，列标为奇排列的取负号。即的符号为 例9 试确定4阶行列式中下列项的符号 （1） （2） 解 （1）的符号为，负号； （2）即是，因而符号为，负号 定理1.3 当行列式的一项书写为时，其符号为 例10 已知是5阶行列式的一项，试问i，k应该取何值？并确定项的符号。 解 由于行列式中的元素取自不同行不同列，所以 将行标取出5432k应是一个5级排列，k=1； 将列标取出i2314应是一个5级排列，i=5 该项的符号为正号 定义1.7 用个元素组成的记号称作n阶行列式，简记为，其值为 其中，称为该行列式的一般项。 特别地，一阶行列式. 注 按照行列式的定义计算行列式的值，计算量很大；但是如果行列式中的元素有很多是数0时，必然包含0元的项为0，只需找出非零项计算即可。 例11 用行列式的定义计算下列行列式的值： （1）（称为对角行列式） 解 此行列式只有一项可能非零，该项为 原式== （2）（称为上三角行列式） 解 按照不同行不同列来取元素，也只有一项可能非零，该项为 原式= 同理， （下三角行列式）= （3） 解 只有一项非零。原式===24 （4） 解 按照行列式的定义，每一行（列）只能取一个元素。 其第三行只有位于第二列的元素不为零，划去第三行以及第二列的元素，剩下的第一列只有位于第二行的元素不为零；再划去第一列以及第二行，剩下的第二列只有一个非零元位于第一行；划去第一行以及第二列后，只剩下第四行第四列一个元素，它不为零。分析得到，此行列式只有一个非零项，此项中的元素如下划横线的元素 == （5） 解 按照行列式的定义，其一般项是n个取自不同行不同列的元素的乘积，在其任意一个一般项中包含每一行的一个元素，每一列的一个元素。 而本