6.6AX=O之解空间本节暂略6.7非齐次线性方程组.ppt

* 6.6 AX=O之解空間 本節暫略 6.7 非齊次線性方程組 考慮非齊次線性方程組： 或表示成 AX = B 2x1 ? x2 + 3x3 + x4 = 1 x1 + 3x2 ?2x4 = 0 ?4x1 ? x2 + 2x3 ?9 x4 = ?3 可用矩陣表示為 A B ? AX = B X 考慮方程組： 矛盾！ 非齊次方程組 不一定有解！ AX = B之解的結構 定理 設UP為AX=B之任意解，則AX=B的 每一解之形式為UP+H，其中H為 AX=O之解。 [證明] (1)令W為AX = B之解，先證明 W可表示成UP+H之形式 AW = B AUp=B ?A( W–UP ) = O ?( W–UP ) 為AX=O之一解 令 ( W–UP ) = H 則 W = UP + H 得證. (2)若W = UP+H ( H為AX = O之解)， 以下再證明W為AX=B之一解 AW = A(UP+H) = AUP + AH = B + O = B 所以W為AX=B之一解 我們稱 UP+H 為AX=B的通解 這表示若 UP 為 AX=B 之任意解， 且 H 為 AX=O 之通解，則 UP+H 包含 AX=B 之所有可能解。 General Solution 考慮方程組： (1)求AX=O 之通解： (2)求AX=B 之任一解： 所以 AX=B 之通解為 增廣矩陣 方程組 AX = B , 增廣矩陣為 [A|B] 例如 解非齊次方程組 AX = B 必須簡化增廣矩陣 [A|B] 考慮方程組： 若且唯若 rank(A) = rank([A|B]) ， 則非齊次方程組 AX=B 有一解 定理