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第七章 微分方程与差分方程 § 7.2 一阶微分方程 本节内容 一、可分离变量的微分方程 二、齐次微分方程 三、一阶线性微分方程 § 7.2 一阶微分方程 称为可分离变量方程 一、可分离变量的微分方程 § 7.2 一阶微分方程 分离变量方程的解法: 把 y视为x的函数把 y ＝y (x) ，方程①两边对x积分, 得 ① ② 显然对②式两边微分可得称①式，这表明由②式确定的 y ＝y (x) 满足①式，于是称②为方程①的隐式通解. § 7.2 一阶微分方程 例1. 求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) § 7.2 一阶微分方程 例2. 解初值问题 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 § 7.2 一阶微分方程 例3 解: 当y≠0时，分离变量得 另外 y = 0 也是方程的一个解. 积分得 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 但无论C为任意常数，这个通解都不包含y=0.因而该方 程的一切解由上述通解和解y=0组成. § 7.2 一阶微分方程 二、齐次微分方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 代入原方程得 两边积分, 得 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: § 7.2 一阶微分方程 例4. 解微分方程 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的隐式通解为 ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解) ( C 为任意常数 ) 此处 § 7.2 一阶微分方程 练习. 解微分方程 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的隐式通解为 § 7.2 一阶微分方程 三、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为非齐次方程 . 称为齐次方程 ; § 7.2 一阶微分方程 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 § 7.2 一阶微分方程 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 2. 解非齐次方程 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 § 7.2 一阶微分方程 例5. 解方程 解: 先解 即 积分得 即 用常数变易法求特解. 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 令