《余弦定理》课例与分析.doc

《余弦定理》课例与分析 南宁市第八中学 戴健 教材和教学任务分析 本课例的教学内容来自新课标人教版高中数学必修五，是第一章“解三角形”中的内容． 推证余弦定理有多种方法，教材为什么还要采用“向量法”来推证余弦定理呢？ 分析下来可以发现，由于欧氏几何只是依据基本的逻辑原理，不使用其他工具，从基本公理出发，通过演绎推理，建立几何关系，给出的几何论证严谨而优美，但由于有时存在较大的思考难度，对人的智力往往形成极大的挑战，于是寻求几何研究的新工具来推进几何研究的发展就成为数学家的理想．而当作为沟通代数、几何与三角函数的一种工具全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系形到向量——向量的运算——向量和数到形火车旅行家保罗·泰鲁在《游历中国》一书中写道：有昆仑山脉在，铁路就永远到不了拉萨。瑞士一位权威隧道工程师评论：穿越昆仑山的岩石和坚冰根本不可能．师：“首先，在修建隧道前，工程技术人员先要测算将要修建的隧道大概有多长．有一种比较实用的方法是，如图1（课件显示），先在地面上选一适当位置C，用测距仪测出C到山脚A、B的距离，再利用经纬仪测出C对线段AB的张角．这样隧道就成为△ABC的一条边．那么，一般我们可以选择一个什么特殊三角形呢？” 生：“直角三角形．” 师：“用什么方法来计算？” 生：“勾股定理！c2＝a2＋b2．” 师：“很好！现在请大家在注意这样一个问题，实际情况中一定能取得到直角三角形吗？”学生都觉得不一定． 师：“由于地理环境的制约，更多的情况下，△ABC是一个一般的三角形，如a＝2.73，b＝3.696，C＝82°28′，这时如何求隧道长？转化为一个三角形问题，大家来叙述一下，是已知什么？求什么？” 生：“已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三条边．” 【余弦定理探索推导】 1、定理的探索推导 问题：在△ABC中，已知两条边的边长a、b和它们的夹角C，如何求第三边的边长c？ 这时，我知道留给学生充分的思考时间进行探索分析是很必要的，于是我走下讲台巡视，以分享他们各自的思路和进展．在巡视的几分钟内，我发现，许多同学都出现了一个共同的想法——作“垂线”（如图2），因为毕竟平面几何知识和方法是学生非常熟练的内容，是学生较易启动的思维点，而且将一般三角形转化为直角三角形的推理思路是合情合理的，并且是一种重要的数学思想方法．于是为了能及时给予肯定并给后进生以引导，我邀请了其中一位同学来大胆表述她的想法． 果然，这一大胆地表述和我及时地肯定引起了大家的注意，我在继续地巡视中可以感受到，他们在草稿纸上的演算、同桌之间相互地交流帮助都反映出了他们在积极地思维．于是几分钟后，我继续邀请学生沿着刚才作垂线的思路继续展开． 让我感触颇深的是，虽然“平面几何法”并不是很难，但是被邀请到的学生可能是因为紧张或欠细节考虑，有时并不能完整并有条理地描述自己的想法，比如一位同学，我从她的草稿上已看出了她的方向，但她在表述用a、b和角C的三角函数表示AD和BD时却出现了出思路不够清晰准确的问题．这时，我提醒自己千万要耐心，着急地由自己讲出结果只能是掐灭了学生思维的火花，于是我要求自己尽可能亲切地鼓励和引导学生思考应如何完善思路．事实上，一个学生思路的不完整并不影响大家对问题的探究，相反地，反而促使大家更积极地去思考和完善．果然不久，一位男同学最终将问题给予了解决，并赢得了大家钦佩的掌声．而我则由衷地感到欣慰，因为我知道，这比我自己讲述效果要好很多． 方法一（平面几何法）： 如图2，当△ABC 是锐角三角形时， c2＝AD2＋DB2＝(bsinC)2＋(a－bcosC)2 ＝ b2sin2C＋a2－2abcosC＋b2cos2C ＝ a2＋b2－2abcosC 这时我强调指出：还要注意讨论△ABC 是钝角三角形和直角三角形时的情形（课件呈现）．当然，方法类似△ABC 是锐角三角形时的情形． 师：“刚才老师留意到有学生尝试了利用向量来解决．那么从哪里让我们联想到向量的呢？” 学生开始静下来思考了，但考虑到时间有限，不一会，我尝试作引导：“我们的问题是已知两边和它们的夹角求第三边，那么我们学过的知识哪个提到过‘夹角’呢？”不一会，经过思考，学生就联想到了向量中的“数量积”．从而联想在△ABC中选取向量（夹角为角C），进而继续选取向量（如图3），实现了“向量法”基本思想方法中“从形到向量”的转化． 师：“我们寻求的是c和a、b、C之间的一个等量关系，那么，在这个三角形中有什么等量关系吗？” 生：“” 师：“那么我们所求的边长实际上向量的……”我话音还没落，学生已回答上是“模”了，而且很快地学生就想到了向量模常用计算方法，即，于是接下来的计算，我把时间留给学生，鼓励他们通过自己