函数概念的三种定义三.ppt

* 第四章 函数 一、函数的发展 二、函数概念的三种定义 三、初等函数 四、函数的图像与函数的特征 一、函数的发展 运动、变量与曲线的数学描述，催生了函数思想，并把函数概念和方法置于整个数学的中心地位。微积分研究对象是函数，几何图形则成为函数的图像。世界万物之间的联系与变化都有可能以各种不同的函数作为它们的数学模型。 函数概念是在欧洲文艺复兴之后，在资本主义文明萌芽时期的16－17世纪才逐渐产生。 伽利略研究抛物线的运动及自由落体运动，产生了函数 。 函数作为微积分的研究对象，牢牢地占据着近代数学的中心地位。 变量说 对应说（映射说） 关系说 总之，函数概念的灵魂是运动，是变量，是变量关系。 《普通高中数学课程标准（实验）》必修课程：数学1函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）；数学4基本初等函数Ⅱ（三角函数）。 二、函数概念的三种定义 ⒈函数概念的定义 定义1 有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量。另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。（19世纪法国数学家柯西） ⒉函数概念的三种定义 ⑴函数的变量说定义 ⑵函数的对应说定义 目前，在中学数学课程标准中，函数定义在抽象的集合上，把函数看作映射的特殊情形。由于映射是用对应来定义的，所以“对应说”与“映射说”其实是一回事。 ⑶函数的关系说定义 函数是一种特殊的关系。“关系说”是完全数学化的定义，也便于为计算机所接受，具有多方面的优越性。这种定义是函数的形式化定义。 然而，关系说过于形式化，抽去了函数关系生动的直观特征，看不出对应关系的形式，更没有解析式的表达，所以初学者不易掌握。 上述三种函数定义，各有各的不同特点。“变量说”是最朴素、最根本，也是最重要的，对于初学者更容易接受。“对应说”形式化的程度较高，对于研究函数的精细性质具有一定的优势。“关系说”形式化的程度更高，在计算机科学中、人工智能设计中具有一定的作用。 ⒊函数在中学数学中的重要作用 函数是中学数学的核心内容。从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。 函数性质在等式或不等式的求解、证明中往往是非常有力的工具，例如 三、初等函数 ⒈初等函数的定义 中学所学习的主要初等函数有：常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等，称为基本初等函数。 定义（初等函数） 由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做初等函数。 初等函数的分类 ⒉初等函数的定义域和值域 ②函数的值域 函数的值域就是函数值组成的集合。 *