反函数的图形f.ppt

反函數 位置函數 s = f (t) = 4t2 0 ? t ? 30 (1) 表示磁浮列車在它的定義域[0, 30] 內任意時間t 的位置。f 的圖形在圖7.5。 反函數 式(1) 讓我們可以用代數計算磁浮列車在任意時間t 的位置。 幾何上，沿著圖7.5 所示之時間t 的位置f (t)，我們可以求任意時間t 磁浮列車的位置。 反函數 現在考慮反過來的問題：已知磁浮列車的位置函數，可不可能得知此列車到達給予的位置所需的時間？ 幾何上，此問題容易解：將對應於給予之位置的點標示於s軸，並沿著之前所考慮之路徑的反（opposite）方向前進。此路徑結合給予之位置s 與所需的時間t。 反函數 代數上，我們可以將解式(1) 的t 表示為s，即得到此列車到達s 位置所需之時間t 的公式。因此， （t 在[0, 30] 內，所以不取負根）。觀察到函數g 定義為 其定義域為[0, 3600]（f 的值域）且值域為[0, 30] （f 的定義域）。 反函數 g 的圖形展示於圖7.6。 反函數 函數f 與g 具備下列特性： 1. g 的定義域為f 的值域且反之亦然。 2. 它們滿足下列關係 與 換言之，f 將t 對映至s = f (t)且g 將s = f (t) 對映回 到t，所以其中一個不能處理另一個所處理的問 題。 反函數 函數f 與g 互為反（inverse）函數。更廣義地，我們有下面的定義。 例題 1 證明函數f (x) = x1/3和g(x) = x3互為反函數。 解： 首先觀察到f 與g 的定義域和值域都是( ?∞, ∞)。 所以，合成函數f。g 與g。f 都有定義。 例題 1－解 接著計算 (f ? g)(x) = f [g(x)] 與 (g ? f )(x) = g[f (x)] 因為對於( ?∞, ∞) 內的x，f [g(x)] = x，且對於(?∞, ∞) 內的x，g[f (x)] = x，所以結論f 與g 互為反函數。 簡言之， f –1(x) = x3 。 反函數 結論說明 我們可以將f 看成三次根的提煉機器而將g 看成「形成立方」的機器。 由此看出，其中一個函數不能解另一個函數所解的問題。故f 與g 彼此確實是對方的反函數。 反函數的圖形 圖形f (x) = x1/3與f –1(x) = x3展示於圖7.7。 它們似乎在說，反函數的圖形是彼此對直線y = x 的鏡像。 一般而言，這是 真的。現在說明 如下。 反函數的圖形 假設(a, b) 為函數f 圖形上的任意點（圖7.8），則b = f (a)，且 f –1(b) = f –1[f (a)] = a 這說明(b, a) 在f –1 的圖形上（圖7.8）。 反函數的圖形 同理可證，若(b, a) 在f –1的圖形上，則(a, b) 必定在f 的圖形上。 但是點(b, a)，如圖7.8 所見，為點(a, b) 對直線y = x 的反射。如此我們已經證明下面的敘述。 例題 2 繪畫 的圖形。然後將f 的圖形對直線y = x 反射得到f –1的圖形。 解： f 和f –1的圖都畫在圖7.9。 哪些函數有反函數 是否每個函數都有反函數？譬如：定義在( ?∞, ∞) 的函數y = x2且其值域為[0, ∞)。 由圖7.10 中的圖形得 知，每個f 值域[0, ∞) 內的點y，在f 定義域 (?∞, ∞) 內恰有兩 （two） 個點 （除了在y = 0 處）。 哪些函數有反函數 由此推得f 並沒有反函數。主要是函數的唯一性在此情形下不被滿足。 又任意水平線y = c 與圖形f 相交超過一點，其中c 0。 接著考慮與f 相同規則定義之函數g，稱為y = x2 ，但是其定義域限制在[0, ∞)。 哪些函數有反函數 由圖7.11 的g 圖形知道，g 之值域內的每一點y對應到g 之定義域內恰有一（one）點， 。 哪些函數有反函數 在此情況，定義g之反函數從g 的值域[0, ∞) 對映到g 的定義域[0, ∞)。 為了找g –1的規則，求式子y = x2的解，將x 寫成y 的函數。 因為x ? 0，且 ，所以 ，或是y 為名義上的變數，所以可以寫作 我們也看到每一條水平線與g的圖形相交最多只有一點。 哪些函數有反函數 對函數f 與g 的分析顯示兩個函數之間重大的差異如下：g 可以有反函數而f 卻不行。 由於f 對應到同一值兩次；亦即，有兩個不同的x 點對應到同一個y 值（y = 0 除外）。 另一