循环矩阵与矩阵对角化.pdf

维普资讯 1994年 第4期 数学通报 41 其 中， 1和 A2分别是 r阶手lIs阶的正定矩阵， 2。设为 l兀一1时成立，那么，当为 n时，对 r+s：n那么， G 也是正定矩 阵． 矩阵作如下的分块=(A1， )其中，且 证明 因A1为正定矩阵，刚有 r阶的可逆矩 为 A的左上角 n l阶子块，则 A1为实对称． 阵 ，使得 1日= ‘，同理，有s阶可逆矩阵 且 l的顺序主子式都大于零 ，由归纳假设知 且1 P2使得 P2：L于是，取P：f 1 为正定矩阵．今对 作合同变换 ，％， 则 P为 n阶可逆矩 阵，且 ， l 0、rA1 a ＼，厶一1 一 P GP ： ( )(4)(岛) Ⅱ 厶／ Ⅱ 0 AI = 一 ，A ： )：日 一(＼P1P~A2PP22)=一(＼‘LL)／=～L 可见 G合 同于单位矩 阵，故 G为正定矩阵 因第三种初等变换不改变矩阵的行列式的值．则 定理 实二次型 ，(z1… ，z)：XAX 为正 A【【： A【1I(n 一 n)0，于是 (n ～ 定的充分必要条件是 的各阶顺序主子式都大于 n n)0．那么，由引理知 B是正定矩阵， 零 ． 又合同变换不改变矩 阵的正定性，所 以， 也是 证明 必要性略去．今证充分性 ，对阶数 n用 正定矩 阵，相应的二次型为正定二次型． 数学归纳法． 我们看到，此证明的优越性在于仅仅用一次 循 簇 阵对 两亿 赵继安 加㈨ ==¨ 加 ¨ 一 t 0 0 ～ 0 l 0 0 c／mt．2／ (甘肃省碌曲县中学 747200) f』