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奇异值分解在图像处理中的应用 【摘要】 数字技术的快速发展促进了图像处理方法的变革，在数字图像处理中，提出利用矩阵的奇异值分解的方法来进行有目的处理，主要介绍了基于数字图像是用一个矩阵来表示的这一概念，从而利用矩阵的相关变换来达到相关处理。本文主要说明了利用奇异值的分解把图像分解到一系列的子空间中然后再进行图像重构、压缩、去噪及主要特性的提取等。所以利用奇异值的分解技术能够很好的解决一幅数字图像的相关要求。 关键字: 奇异值分解 图像重构 图像压缩 1、引言 随着科技信息技术的不断发展，图像的格式也变的日益丰富，其从传统的胶片时代过渡到了数字时代，这一转变从而也促进了图像处理的方法发生了很大的变化。我们知道一幅数码相机拍摄的图像是以数字形式存储的，而存储的格式也有不同的分类，但是它们在本质上都是可以用一个矩阵的方式来表示的。所以这也为用数学方法来进一步处理带来了可能。在我们现在的日常生活中，数字图像和我们如影随形，无论是用数码相机还是手机，都可以随时随地的拍下一幅图像。但这同时也带来了重要的问题，那就是存储容量过大，所以利用矩阵的奇异值的分解可以有效地解决相关的问题。奇异值是一种非线性滤波，它从矩阵的角度出发，将包含信号信息的矩阵分解到一系奇异值和奇异值矢量对应的信号子空间去，然后就可以通过去除较小的奇异值来重构、压缩和去噪等相关的应用。 2、矩阵的奇异值 设A ? Cm×n,r=rank(A), λi ,μi ,分别是AAH,AHA的特征值并且都为实数，并假设： λ1 ≧λ2≧ ...≧ λr ?λr+1=λr+2=...λn=0 μ1 ≧μ2≧ ...≧ μr ?μr+1=μr+2=...μn=0 则，λi与μi的关系式为： λi=μi?0，（i=1,2...,r) σi为A的奇异值，则有关系式为： σi== 矩阵的奇异值分解 由上面的定义可知，存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，满足： A=UDVH=UVH 其中，Δ=diag(σ1 ,σ2 ,...σr)。U满足UHAAHU,是对角阵，V满足VHAHAV,是对角阵。U的第i列为A的对应于σi的左奇异向量，V的第i列对应于σi的右奇异向量，它们的每列均为单位向量且相互正交。 因为任意一个A ? Cm×n 矩阵的奇异值是唯一的，所以特征值反映了矩阵数据的分布特征，进而可以把奇异值分解看成是对A进行一个线性变换。A经过奇异值分解后变换分解为3个部分：U,Δ,V，因为U,V都是标准正交矩阵，它们对应的线性变换就相当于对m维和n维坐标系中的坐标轴的旋转变换。 3、数字图像中的SVD 由于一幅经过数字化处理后的图像就可以用一个矩阵来表示，所以设A为一幅数字图像，将A进行奇异值分解后可得： A=UDVH=UVH==ΣσiuiviH 其中，ui,vi 分别是u和v的列向量，σi为A的非零奇异值，所以，图像A可以看成是r个秩为1的子图uiviH叠加的结果，而σi为权重；如果把Ai看成时频信息，对应的ui和vi可看成频率矢量和时间矢量，因此，数字图像A中的时频信息就被分解成一系列由ui和vi构成的时频平面中。 4、SVD实现的压缩处理 用奇异值来压缩图像的基本思想是对图像进行奇异值分解，选取部分的奇异值和对应的左右奇异向量来重构图像矩阵，根据奇异值分解的图像性质：奇异值分解可以代表图像的能量信息，并可以降低图像的维数，如果A表示n个m维向量，可以通过奇异值分解将A表示为m+n个r维的向量。若A的秩远远小于m和n，则通个奇异值的分解可以大大降低A的维数。 若图像矩阵A的大小为n×n，设A=UΔVH,其中：Δ为奇异值组成的对角矩阵，按奇异值从大到小取K个奇异值和这些奇异值所对应的左奇异向量和右奇异向量，进行重构A，如果选择的K≧r，这样得到的图像为无损压缩；如果kr,则为有损压缩。因此可以用k(2n+1)个数值代替原来的n×n个数据。所得到的压缩比： ρ =n2/k(2n+1) 所以在图像的传送中，无需传送所有的图像数据，而只需传送k(2n+1)个有关的奇异值和奇异向量的数据即可。在接收端接收到奇异值及左奇异向量和右奇异向量，然后就可以通过： A=UDVH=UVH==ΣσiuiviH 重构出原图像矩阵。从而得到原来的图像。 但是，在实际问题中，我们知道一幅图像比较大，从而矩阵的维数也比较大，如果直接进行奇异值分解的话，将会导致运算量非常大，所以可以将图像的矩阵划分为若干的子块，然后再对各个子块进行奇异值分解，并确定奇异值的个数，再将每个子块进行重构，这样操作的好处除了是不仅减小的计算量，还有效的利用了图像的非均匀的复杂性。要想保证压缩图像的质量就需要较多的奇异值。但各子块的奇异值数目、大小各不相同。因此可以考虑为每个子块自适应的选择奇异值的数目。一个可选的方法是按每个奇异的对信息所