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2001 年 9 月 山东师大学报(自然科学版) Sep.2001 第 16 卷第3 期 Journal of Shandong Norrn且1 University(Natura1 Science) Vol. 16 No.3 矩阵正规性的等价条件 程立倩2) 孙晓琳1) (1)烟台教育学院师资培训处，264∞1 ，山东烟台: 2) 烟台教育学院烟台电大数学系，2ωω1，山东烟台;第一作者44 岁，女，副教授) 摘要 依据正规矩阵的定义和舒尔引理，从矩阵商对角化、矩阵分解、谱分解、特征向量、矩阵实部和虚部等方面 研究了矩阵正规性的等价条件 正规矩阵是在讨论西等价时自然产生的一类矩阵，它是西矩阵、实对称阵、Hennite 阵等的推 广，在整个矩阵分析中占有十分重要的地位.本文将分别由正规矩阵定义和舒尔引理推出矩阵正规 性的若干等价条件，旨在为研究正规矩阵的性质提供理论性依据和借鉴. 对本文所使用的部分符号做如下约定: X η Mn(C) :复数域上 n 矩阵的全体;AH: 矩阵 A 的共辄转置矩阵;A二三0: 矩阵 A 是半正定 的;C:复数域上的 n 维向量空间;αε C :α 为 n 维复数域上的向量; Un:n 阶西阵的全体;ReA: 姐阵 A 的实部;ImA:矩阵 A 的虚部;E: 单位矩阵. H 定义 1 AεMn(C)满足 AA = AHA ，则称 A 是正规矩阵. 由定义 1 知:对角矩阵、西矩阵、实对称矩、Hennite 阵与反 Hennite 阵都是正规矩阵. 定义 2 称(ýiy)! 是 yε C的 Euclid 长度. H H A+A ~ A-A 定义 3 A仨Mn( C) ，令 B=一~，c= 一一一，则称矩阵B、 C 为A 的实部和虚部，记B= 2 ，~ 2i H H H H A + A . A - A A +A . . A - A 、 ReA , C= lmA(实际上 A=一一一一+一一一一=一一一一 +i 一一一一) 2 2 2 2i 下面，分别由定义和舒尔引理推出矩阵正规性的若干等价条件. 1 由定义直接导出的等价条件 命题 1 AεMn(C)是正规矩阵件儿生H-A气生注O. 证 (斗)A 是正规阵，由定义知:AAH=A气今，即 AAH-AHA=O， 从而 AAH-AHA注O. H H (ç,: )若 AA - AHA 注 0 ，即 AA - AHA 半正定，因为 T (AB) = T (B且) ，故 r r Tr(AHA 一儿生H) =0， 从而儿4.H - AHA =0， 所以 A 是正规矩阵.证毕. 命题2 AεMn(C)是正规矩阵件对所有 z 仨 C，Ax 与AHx 的 Euclid 长度相同.