动态规划算法的基本要素最优子结构.ppt

第3章 动态规划 算法总体思想 动态规划基本步骤 找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 递归地定义最优值。 以自底向上的方式计算出最优值。 根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。 完全加括号的矩阵连乘积 矩阵连乘问题 分析最优解的结构 建立递归关系 计算最优值 用动态规划法求最优解 动态规划算法的基本要素 一、最优子结构 二、重叠子问题 三、备忘录方法 最长公共子序列 若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。 给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。 给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。 最长公共子序列的结构 子问题的递归结构 计算最优值 算法的改进 凸多边形最优三角剖分 三角剖分的结构及其相关问题 最优子结构性质 最优三角剖分的递归结构 多边形游戏 最优子结构性质 图像压缩 电路布线 流水作业调度 Johnson不等式 流水作业调度的Johnson法则 算法描述 0-1背包问题 算法改进 典型例子（一） 算法改进 典型例子（二） 算法复杂度分析 最优二叉有哪些信誉好的足球投注网站树 二叉查找树的期望耗费 二叉查找树的期望耗费示例 最优二叉有哪些信誉好的足球投注网站树 记 。N(i,j)的最大不相交子集为MNS(i,j)。Size(i,j)=|MNS(i,j)|。 (1)当i=1时， (2)当i1时， 2.1 jπ(i)。此时， 。故在这种情况下，N(i,j)=N(i-1,j)，从而Size(i,j)=Size(i-1,j)。 2.2 j≥π(i)，(i,π(i))∈MNS(i,j) 。 则对任意(t,π(t)) ∈MNS(i,j)有ti且π(t)π(i)。在这种情况下MNS(i,j)-{(i,π(i))}是N(i-1,π(i)-1)的最大不相交子集。 2.3 若 ，则对任意(t,π(t)) ∈MNS(i,j)有 ti。从而 。因此，Size(i,j)≤Size(i-1,j)。 另一方面 ，故又有Size(i,j)≥Size(i-1,j)， 从而Size(i,j)=Size(i-1,j)。 电路布线 (1)当i=1时 (2)当i1时 n个作业{1，2，…，n}要在由2台机器M1和M2组成的流水线上完成加工。每个作业加工的顺序都是先在M1上加工，然后在M2上加工。M1和M2加工作业i所需的时间分别为ai和bi。 流水作业调度问题要求确定这n个作业的最优加工顺序，使得从第一个作业在机器M1上开始加工，到最后一个作业在机器M2上加工完成所需的时间最少。 分析： 直观上，一个最优调度应使机器M1没有空闲时间，且机器M2的空闲时间最少。在一般情况下，机器M2上会有机器空闲和作业积压2种情况。 设全部作业的集合为N={1，2，…，n}。S?N是N的作业子集。在一般情况下，机器M1开始加工S中作业时，机器M2还在加工其他作业，要等时间t后才可利用。将这种情况下完成S中作业所需的最短时间记为T(S,t)。流水作业调度问题的最优值为T(N,0)。 流水作业调度 设?是所给n个流水作业的一个最优调度，它所需的加工时间为 a?(1)+T’。其中T’是在机器M2的等待时间为b?(1)时，安排作业?(2)，…，?(n)所需的时间。 记S=N-{?(1)}，则有T’=T(S,b?(1))。 证明：事实上，由T的定义知T’?T(S,b?(1))。若T’T(S,b?(1))，设?’是作业集S在机器M2的等待时间为b?(1)情况下的一个最优调度。则?(1)， ?’(2)，…， ?’(n)是N的一个调度，且该调度所需的时间为a?(1)+T(S,b?(1))a?(1)+T’。这与?是N的最优调度矛盾。故T’?T(S,b?(1))。从而T’=T(S,b?(1))。这就证明了流水作业调度问题具有最优子结构的性质。 由流水作业调度问题的最优子结构性质可知， 对递归式的深入分析表明，算法可进一步得到简化。 设?是作业集S在机器M2的等待时间为t时的任一最优调度。若