二次点列上的射影对应.ppt

* § 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 总假定：所论二次曲线非退化. 仅讨论二阶曲线 定义4.12 二阶曲线?上全体点的集合称为一个二次点列, ?称为这点列的底. 记作?(A,B,C,…)或?(P)或?. 定义4.12 二级曲线?上全体直线的集合称为一个二次线束, ?称为这线束的底. 记作?(a,b,c,…)或?(p)或?. 只讨论二次点列. 1、定义 注：作为点的集合, 二次点列与一次点列、线束都具有同样多的元素. § 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 定义4.13 设A, B, C, D为二次点列?上四点. 则其交比定义为 (AB, CD)=S(AB, CD). 其中S为?上任意一点. 若上述交比为–1, 则称这四点构成二次点列?上一个调和点组. 注：由推论4.3, (AB,CD)与S的选取无关，本定义合理. 2、二次点列上四点的交比 § 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 定义4.14 如图所示点列、线束与二次点列之间的透视对应. 定义4.15 若两个二次点列分别与两个射影线束透视, 则这两个二次点列成射影对应. 记作：S(P) ?(P)；x(P1) ?(P). S(P) ?(P) S(P) ?(P) S(P) S(P) ?(P) ? (P) 注2：点列、线束与二次点列之间的透视对应是保交比的双射. 注1：线束与二次点列, 束心须在?上；点列与二次点列, 对应点连线共点于?上. 3、二次点列间的射影对应 § 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 定理4.17 (1) 已知相异的三对对应点惟一确定两个二次点列间的一个射影对应. (2) 二次点列间的射影对应是一个保交比的双射. 4、Steiner作图法 例1. 已知两个二次点列?与?的射影对应的三双相异的对应点A, A; B, B; C, C(如图), 求作?上任一点P在?上的对应点P(Steiner作图法). 注1 直线B0C0称为?与?的射影对应的透视轴. 由作图, 透视轴存在而不惟一. 注2 透视轴不惟一, 但是P的对应点P惟一存在. § 4.5 二次点列上的射影变换 二、二次点列上的射影变换 定义 同底两个二次点列间的射影对应称为二次点列上的一个射影变换. 定理4.18 (Steiner)设 f 为二次点列?上的一个非恒同的射影变换. 则存在惟一直线 p0 , 使得对于 f 的任何两对对应点A, A; B, B, 都有PAB=AB?AB在直线p0上. 直线 p0称为 f 的射影轴, 简称轴. 证明：(略, 见教材). 注：射影轴即为三双对应点确定的Pascal线. 轴与?的交点即为 f 的不变点. 推论4.11 二次点列上的一个非恒同的射影变换 f 的轴可由已知 f 的相异的三对对应点完全确定. 推论4.12 二次点列上任一个非恒同的射影变换 f 可由已知其轴和一对相异的对应点完全确定. f 的射影轴 § 4.5 二次点列上的射影变换 二、二次点列上的射影变换 定义4.17 二次点列上的双曲型、抛物型、椭圆型射影变换. 注：二次点列?上的一个射影变换 f 为双曲型、抛物型或椭圆型? f 的轴与?相交、相切或不相交(交于一对共轭虚点). 定理4.19 f: ?(P) ?(P) S(P) ?(P) S(P) ?(P) x(P1) ?(P) x(P1) ?(P) fS: S(P) S(P) fx: x(P1) x(P1) f 与fS , fx为同型射影变换. 定理4.20 对于二次点列上的双曲、椭圆型射影变换, 其两个不变元素与任一对相异的对应元素所成交比为常数, 称为特征不变量. 体会：通过透视对应, 一维基本形的射影对应、射影变换的许多性质都可移植到二次点列上来. § 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 定义 二次点列?上的一个非恒同的射影变换 f 称为对合, 如果任取?上一点S与 f 的对应点连线得到线束S中一个对合 f0. 注：二次点列上的对合由与之透视的线束的对合诱导. 定理 对于二