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* * 高中数学 选修1-1 t / s 20 30 34 2 10 20 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) O S/m 2 10 某同学早晨上学快进校门时第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示： C(34, 33.4) 问题情境 t /s 20 30 34 2 10 20 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) O 2 10 S/m 14.8 15.1 C(34, 33.4) 问题1：从A到B的位移是多少？从B到C的位移是多少？ 问题2：从A到B这一段与从B到C这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？ AB段位移增加得平缓，BC段位移则是陡然增加． 学生活动 　　案例中，从B到C位移“陡增”，这是我们从图像中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？ t(s) 20 30 34 2 20 30 A B O C s (m) 2 10 t/s 20 30 34 2 10 20 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) O C (34, 33.4) S/m 2 10 　　联想到用斜率来量化直线的倾斜程度，我们用比值： 来近似地量化B,C之间这一段曲线的陡峭程度， 20 30 34 2 10 20 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) O C (34, 33.4) S/m 2 10 那么对一般函数f(x)怎么刻画函数值在区间 上 的变化快与慢呢？ 建构数学 注意：不能脱离区间而言 一般地，函数 在区间 上的平均变化率为 1. O A B x y y＝f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1=△x f(x2)-f(x1)=△y 直线AB的斜率 观察函数 的图象， 平均变化率 表示直线AB的什么? 思考： 一般地，函数 在区间 上的平均变化率为 　2.平均变化率的几何意义：连接区间两端点直线的斜率． 例1　某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． t/月 W/kg 6 3 9 12 3.5 6.5 8.6 11 数学运用 t/月 W/kg 6 3 9 12 3.5 6.5 8.6 11 解：从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为 从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为 问：你怎么去理解本题中两个不同平均变化率的实际意义？ 例2　水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后 容器甲中水的体积 （单位： ）， 试计算第一个10s内V的平均变化率． 问题1　例2中的平均变化率的实际意义是什么？ 解：在第一个10s内，体积V的平均变化率为 平均变化率可正可负 问题2　平均变化率正负的意义是什么呢？ 甲 乙 例2　水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后 容器甲中水的体积 （单位： ）， 试计算第一个10s内V的平均变化率． 问题3. 对一般函数f(x)，某个区间平均变化率的正和负是不是一定分别表示在这个区间函数值一直在增和减呢？你能画个函数图像举例说明吗？ 甲 乙 解：在第一个10s内，体积V的平均变化率为 x o a b f(x) y g(x) 问： 这两个函数f(x)、g(x)在区间[a，b]上的平均变化率有何关系？对此你们有何想法？ 缩小区间 怎么才能较为精确地刻画函数值变化的快慢呢？ 例3　已知函数 ，分别计算 在下列区间上的平均变化率： [1，1.001] [1，1.01] [1，1.1] [1，2] [1，3] 平均变化率 区间 4 3 2.01 2.001 2+ 2.1 思考：当区间缩小时，平 均变化率有何变化趋势？ x y 1 3 o 2 1.1 函数在 的平均变化率： 找找规律 从图形的角度有没有发现什么？ 那么直线对应的函数的平均变化率有何特性呢？ 　　一次函数 在区间 上的平均变化率等于斜率 ． 例4. 假设容器中的水的体积V随增加的高度h 变化的函数为V(h)=2h+1(单位：cm3),请分别计算它在[0,5]和 [6,7]上的平均变化率。 变：在[m,n]上呢？ 变：一次函数f(x)=kx+b在[m,n]上的平均平均变化率呢？ 1.