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最高公因式最小公倍式最高公因式定多式若是他公因式中次最高的和的最高公因式以或表之即最小公倍式定多式若是他公倍式中次最低的和的最高公因式以表之即最高公因式的求法因式分解法先各多式因式分解再取相同的公因式次最小的乘起即可相除法例一例二最小公倍式的求法因式分解法先各多式因式分解再取相同的公因式次最大的乘起即可相除法利用相除法求得的最高公因式特殊的性若多式互符例一有二多式其最高次均且最高公因式最低公倍式求此二多式解所求或例二若之最高公因式二次式解最高公因式整系多式的比
最高公因式與最小公倍式
最高公因式定義:
多項式f(x)與g(x)
若h(x)是他們公因式中次數最高的,
稱h(x)為f(x)和g(x)的最高公因式,
以H.C.F或g.c.d表之,即(f(x),g(x))=H.C.F
最小公倍式定義:
多項式f(x)與g(x),
若L(x)是他們公倍式中次數最低的,
稱L(x)為f(x)和g(x)的最高公因式,
以L.C.M表之,即[f(x),g(x)]=L.C.M
最高公因式的求法
因式分解法:先將各多項式因式分解,再取相同的公因式次數最小的,乘起來即可。
輾轉相除法:
範例一
_____________
範例二
最小公倍式的求法
因式分解法:先將各多項式因式分解,再取相同的公因式次數最大的,乘起來即可。
輾轉相除法:利用輾轉相除法,求得f(x)、g(x)的最高公因式d(x),則
[f(x),g(x)]=f(x) × g(x) / d(x)
特殊的性質
f(x) ×g(x) = ( f(x) , g(x) ) ×[ f(x) , g(x) ]
若設d(x)|f(x),d(x)|g(x),則 d(x)|m(x)f(x)+n(x)g(x)。
當多項式f(x),g(x)互質時,符號:(f(x),g(x))=1
範例一
設有二多項式,其最高次項係數均為1,且最高公因式為x – 3,最低公倍式為x3 – 7x2 + 15x – 9,試求此二多項式。
解:(x3 – 7x2 + 15x – 9) ( x – 3) = x2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3)∴所求為(x – 3),(x – 3)2(x – 1)或(x – 1)(x – 3),(x – 3)2。
範例二
若f (x) = x3 + ax2 + 11x + 6與g(x) = x3 + bx2 + 14x + 8之最高公因式為二次式,則a =______,b =______。
解:設最高公因式為d(x)d(x) | f (x) – g(x) d(x) | (a – b)x2 – 3x - 2 d(x) = (a - b)x2 – 3x – 2d(x) | 4f (x) – g(x) d(x) | [x2 + (4a – 3b)x + 2] d(x) = x2 + (4a – 3b)x + 2∴ a = 6,b = 7。
整數系與多項式的比較
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