现代谱估计-read.doc

§5－10、最大熵谱估计 1967年Burg提出，对未知延迟点上的自相关函数值，按最大熵的原则进行外推，克服了经典谱估计中窗函数法，相当于令未用到的自相关或观测数据均为零的假设。故提高了分辨度，尤其适用于短数据的情况。 最大熵准则： 熵－不确定度，最不确定的事件－熵最大。 定义：若随机向量具有概率密度函数则其熵为 熵－方差－相关函数 一维高斯分布 其中 代入熵的定义公式，并注意到得： N维高斯分布 ，表示行列式； 故可得N维高斯分布的熵为： 为方便起见改写熵的定义为： C－常数，可用来确定量度熵的参考基准或熵的绝对值 N－正整数。 因此令时，N维高斯分布的熵可写为： 显然，要使熵最大，就要使最大。 研究熵与功率谱之间的关系，即已知自相关函数的N+1个值,计算下一个最大延迟之外的自相关函数值。选择的准则就是要使熵最大。由自相关矩阵的正定性，行列式是非负的。要使熵最大，就是使最大，于是有： 由于N+1阶的自相关矩阵可写为： 式中 根据分块矩阵行列式的恒等式：（证明见王宏禹书p.297） 于是有： 显然(5-106)式，即将上式对的导数为零，得： 此式为的一次方程，从而求解此式，可得到合适的。同理将此代入，继而可求出。这就是在最大熵的原则下，由已知的N+1个值外推得到,,自相关序列。故可得：B为常数 外推的方法很多，但应该是与已知点上的自相关相符的功率谱中最任意的，即具有最大熵的。这相当于扩大了自相关的信息，故得到的谱估计比传统方法的分辨率高。 当序列无限长时，上述熵的定义会发散，则应采用熵率的定义： 相关图法中有的假设，即为其主要缺陷。 其功率谱估计为： 这里不采用此假设，而是按最大熵的原则即取值最不确定，来选择的值。其数学表达式为： 可以证明最大熵谱估计的表达式为： 式中的系数就是Yule-Walker方程的解。 最大熵谱估计的问题就变成估计这些系数的问题，可以证明最大熵谱估计与AR模型谱估计的是等价的。（有关证明可见陈炳和“随机信号处理”p.415） §5－11、最大似然谱估计 Capon空间阵列接收数据，线性最小方差，地震、水声信号等。 当信号形式为时，第k 个传感器的接收信号为： 传播延迟，－白噪声过程。该传感器的输出延迟了，再乘以权，于是可得如下形式的输出： 第m 个传感器的输出为： ,且有： 若为互不相关的零均值，方差为的随机过程，则均方功率为：(为信号功率) 若定义,则其采样输出为 其方差为： 式中采样间隔。要使方差在下列约束条件下为最小： 式中 此估计器对x(t)是在高斯环境下进行的，所以此时最大似然估计与最小方差估计一致，即为： 由于为常数，故应使,即为： 易见，估计器参数的选择，是在一定的约束条件(5-119)下，使上式成立。故引入拉格朗日乘子，构造目标函数： 令则可求出： 代入方差表达式得： 当向量中的频率ω等于信号频率时，上式就代表信号功率 当频率ω的值遍及定义域时，上式就可以看作是过程x(t)的功率谱密度的估值。这样就得到了最大似然谱估计的值，为： 可见，自相关函数矩阵---。 可以证明：最大似然谱估计和最大熵谱估计之间有密切联系，即：最大似然谱估计的倒数等于m=1—p阶的最大熵谱估计的倒数和。 式中为m阶AR模型（最大熵）谱估计。通常，先用自回归AR模型法计算 再用上式(5-125)计算最大似然谱估计。 一般说来，最大似然谱估计的分辨率要比最大熵谱估计的分辨率低。 §5－12、ARMA模型谱估计 自回归滑动平均ARMA信号模型，实际上是自回归AR模型与滑动平均MA模型综合应用的一种信号模型。从数字滤波器设计的角度来看，全极点的无限冲击响应的滤波器(AR)要比全零点的有限冲击响应的滤波器(MA)的阶次低，就可以实现同样特性指标的频率响应。而在无限冲击响应的滤波器中，要实现同样指标的特性，采用零极点型的滤波器(ARMA)又要比全极点型滤波器(AR)阶次更低。所以零极点型滤波器的特性优化逼近程度会优于全极点型的，阶次低，待定系数少，运算速度更快。显然、ARMA信号模型谱估计法的分辨度比最大熵谱估计的还要高。但其模型复杂、算法较繁，有许多问题仍在继续研究。 一般的ARMA信号模型： 对于一般的时域序列的信号模型，往往包含有确定的和非确定的两部分。确定的部分－AR模型，非确定的部分－MA模型。 从而组合成下列形式： 其中表示具有零均值和方差为的白噪声激励。将上式两边取Z变换得： 式中, 于是ARMA模型的系统函数为： 由此可得功率谱为（Z变换的形式）： ARMA模型系数的确定： 用代入上式，可得功率谱的估值： 若用表示的反变换序列，对照上式，并注意到，则有： 为方便起见令，将上式两边同乘以,并令Z的等幂次项相等，则可得到下列关系式： 式中是ARMA信号的自相关函数。值此，我们可以先用Yule-Walker方程估计