线性规划作业及答案.doc

第二章 线性规划 作业及答案 1、试述线性规划数学模型的组成部分及其特性 答：线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。 线性规划数学模型特征： 用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量均为非负的连续变量； 存在一定数量（m）的约束条件，这些约束条件可以用关于决策变量的一组线性等式或者不等式来加以表示； 有一个可以用决策变量加以表示的目标函数，而该函数是一个线性函数。 2、一家餐厅24小时全天候营业，在各时间段中所需要的服务员数量分别为： 2：00~6：00 3人 6：00~10：00 9人 10：00~14：00 12人 14：00~18：00 5人 18：00~22：00 18人 22：00~ 2：00 4人 设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时，问该餐厅至少配备多少服务员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。 解：用决策变量,,,,,分别表示2：00~6：00， 6：00~10：00 ，10：00~14：00 ，14：00~18：00，18：00~22：00， 22：00~ 2：00 时间段的服务员人数。 其数学模型可以表述为： 3、现要截取2.9米、2.1米和1.5米的元钢各100根，已知原材料的长度是7.4米，问应如何下料，才能使所消耗的原材料最省。试构造此问题的数学模型。 解：圆钢的截取有不同的方案，用θ表示每种切割方案的剩余材料。其切割方案如下所示： 2.9 2.1 1.5 θ 1 1 1 1 0.9 2 2 0 0 0.1 3 1 2 0 0.3 4 1 0 3 0 5 0 1 3 0.8 6 0 0 4 1.4 7 0 2 2 0.2 8 0 3 0 1.1 目标函数为求所剩余的材料最少，即 4、某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C三种原料的含量要求、各种原料的单位成本、各种原料每月的限制用量、三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1所示。问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，才能使该厂获利最大？试建立这个问题的线性规划模型。 表1 甲 乙 丙 原料成本 限制用量 A 60%以上 15%以上 2.00 2000 B 1.50 2500 C 20%以下 60%以下 50%以下 1.00 1200 加工费 0.50 0.40 0.30 售 价 3.40 2.85 2.25 解：以表示甲产品中的A成分，表示甲产品中的B成分，表示甲产品中的C成分，依此类推。据表2-16，有： ，，，，．．．．．．① 其中：，，．．．．．．② 把②逐个代入①并整理得： ，， ， 原材料的限制，有以下不等式成立： ，， 在约束条件中共有9个变量，为方便计算，分别用,．．．表示，即令=，=，=，=，=，=，=，=，= 由此约束条件可以表示为： 我们的目的是使利润最大，即产品售价减加工费再减去原材料的价格为最大。 目标函数为 5、某厂在今后4个月内需租用仓库存放物资，已知各个月所需的仓库面积如表2所示。租金与租借合同的长短有关，租用的时间越长，享受的优惠越大，具体数字见表3。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。因此该厂可根据需要在任何一个月初办理租借合同，且每次办理时，可签一份，也可同时签若干份租用面积和租借期限不同的合同，总的目标是使所付的租借费用最小。试根据上述要求，建立一个线性规划的数学模型。 表2 月 份 1 2 3 4 所需面积（100m2） 15 10 20 12 表3 合同租借期限 1个月 2个月 3个月 4个月 单位（100m2）租金（元） 2800 4500 6000 7300 解：设（i＝1,2,3,4;j=1,2．．．4-i+1）为第i个月初签订的租借期限为j个月的合同租借面积（单位：100）；表示第i个月所需的面积（j表示每100仓库面积租借期为j个月的租借费）；则线性规划模型为： 6、某农场有100公顷土地及25万元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季4500人日，春夏季6000人日，如劳动力本身过剩可外出打工，春夏季收入为20元／人日，秋冬季12元／人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米和小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物不需要专门投资，而饲养动物时每头奶牛投资8000元，每只鸡投资2元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲草，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入3000元／每头奶牛。养鸡不占土地，需人工为每只鸡秋冬季0.3人日，春夏季0.1人日，年