1-4无穷大无穷小.ppt

第四节 2、无穷大 二、无穷小与无穷大的关系 * * 二、无穷小与无穷大的关系 三、无穷小的性质 一、无穷小与无穷大的定义 无穷小与无穷大 第一章函数与极限 1.4 无穷小与无穷大 一、无穷小与无穷大的定义 1、无穷小定义 换句话说，极限为零的变量称为无穷小. (2) 例如, 注意 1. 无穷小不是一个很小的数，它是一个变量，是描述函数的一种状态,也称为无穷小量. 2. 零是可以作为无穷小的唯一的常数. 3. 无穷小与自变量的变化趋势相关. 函数 当 时为无穷小. (1) 某过程下,绝对值无限增大的变量称为无穷大(量). 若在定义中将①式改为 则记作 ① 例如, 注意: 1. 无穷大不是数，不要与很大的数混为一谈. 4. 定义中的M不是函数有界里的M， 函数有 界里的M是给定的，这里的M是任给的。 2. 无穷大与自变量的变化趋势相关。 5. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变 量未必是无穷大。 不是无穷大． 无界， 证 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 必要性 充分性？ 意义： 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 充分性：设 三、无穷小的性质(重点) 意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 注意：　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例 3 = 0 例 4 下题做法是错误的，指出错在哪里？ 并用正确的方法解出。 正确方法： × 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 例 5 求下列极限 牢记: 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论： 注意: 没有给出无穷小相除的相应结论. 为什么?