历届 最近十年 (新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(含模拟试题及解答).doc

新 知 杯 模 拟 试 题 填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分） 对于任意实数，定义=，已知，则实数的值是_________。 在三角形ABC中，是大于1的整数，则 。 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。 已知关于的方程有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。 如图，直角三角形中，，为斜边上一动点。,，则线段长的最小值为 。 设是方程的两个根，是方程的两个根，则 的值为 。 在平面直角坐标系中有两点，,函数的图像与线段延长线相交（交点不包括），则实数的取值范围是 。 方程的所有整数解有 组。 如图，四边形中,,。设延长线交于，则_________________. 如图，在直角梯形中，,,点在上，使得是正三角形，则与的面积和是________________。 二、（本题15分）如图，中，,点在上，使得 并且求的长。 三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数：，其中数字可以是0。 四、（本题15分）正整数满足以下条件：任意个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的。 五、（本题15分）若两个实数使得都是有理数，称数对是和谐的。 试找出一对无理数，使得是和谐的； 证明：若是和谐的，且是不等于1的有理数，则都是有理数； 证明：若是和谐的，且是有理数，则都是有理数。 新知杯模拟试题 一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分） 对于任意实数，定义=，已知，则实数的值是_________。 【答案】4或 【解析】，，，，所以或 在三角形ABC中，是大于1的整数，则 。 【答案】0 【解析1】若，即矛盾 若，则，即矛盾， 【解析2】是大于1的整数，所以，此时，，即， ，即，，即 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。 【答案】50，94 【解析】设两边长分别为和，则，，所以周长为或 已知关于的方程有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。 【答案】5 【解析】原方程可化为，，，，即 如图，直角三角形中，，为斜边上一动点。,，则线段长的最小值为 。 【答案】 【解析】设，，则，所以，，，当，时，最小。 设是方程的两个根，是方程的两个根，则 的值为 。 【答案】2772 【解析】，，，， 在平面直角坐标系中有两点，,函数的图像与线段延长线相交（交点不包括），则实数的取值范围是 。 【答案】 【解析】， 方程的所有整数解有 组。 【答案】72 【解析】 正整数解6+3+3+6=18组，非正整数解18×3=54组，共72组 如图，四边形中,,。设延长线交于，则_________________. 【答案】21 【解析】作∥，∥，易知，四边形为平行四边形，，，是等边三角形，即为等腰三角形，, 如图，在直角梯形中，,,点在上，使得是正三角形，则与的面积和是________________。 【答案】 【解析】将图补成正方形，易知≌，令，则，由勾股定理得，解得， 二、（本题15分）如图，中，,点在上，使得 并且求的长。 【答案】。 【解析】设，则作的平分线交于点，BE，则∽,所以，由角平分线定理可知，因此解得。 三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数：，其中数字可以是0。 【答案】 【解析】设，，则由题意得，即，因为为整数，，，，且在100内11的倍数只有9个，经验证，时，，时，，解得，，，因此， 四、（本题15分）正整数满足以下条件：任意个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的。 【解析】由于这14个合数都小于2009且两两互质，因此。而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数的最小素因子则必有一个素数不失一般性，设由于是合数的最小素因子，因此矛盾。所以，任意15个大于1且不超过2009的互质整数中至少有一个素数。综上所述，n最小是15。 五、（本题15分）若两个实数使得都是有理数，称数对是和谐的。 试找出一对无理数，使得是和谐的； 证明：若是和谐的，且是不等于1的有理数，则都是有理数； 证明：若是和谐的，且是有理数，则都是有理数。 【解析】 不难验证是和谐的。 由已知是有理数，是有理数，所以，解得是有理数，所以也是有理数。 若，则是有理数，因此也是有理数。若，由已知是有理数，也是有理数，因此，故是有理数，因此也是有理数。 一 （1~8） 二 总 分 9 10 11 12 得 分 评