华中师范大学偏微分方程2015-2016第二学期A卷答案.doc

第 1 页(共 3 页) 第 2 页(共 3 页) 第 3 页(共 3 页) 华中师范大学 2015 –2016 学年第二学期 期末考试试卷答案（A卷） 课程名称 偏微分方程1 课程编号任课教师 阮立志、张国 题型 基础题 计算题 解答题 证明题 总分 分值 20 40 20 20 100 得分 得分 评阅人 一、基础题：（共4题，每题5分，共20分） 1. 指出方程的阶，并判定它是线性的还是非线性的. 答：四阶线性偏微分方程. 2. 写出方程 的特征二次型. 答：特征二次型是： 3. 写出关于点的影响区域. 答：由不等式所确定的角型区域. 4. 写出Cauchy问题的解的表达式. 答：以上Cauchy问题解的表达式是： ? ????? 院（系）： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 得分 评阅人 二、计算题：（共2题，每题20分，共40分） 1. 判断下列方程的类型，并化成标准型： 解：由于 所以方程处处是抛物型的. 易知特征方程为： 解得特征线为： . 作特征坐标变换： . 则 , 代入方程，得 . 在 即 时，我们有 2. 求解Cauchy问题： 解：解：令，则 ，, . 则原问题转化成如下Cauchy问题 (1) 由泊松公式可知 (1) 的解为 ， 而 ， 从而Cauchy问题(1)的解为 ， 故原问题的解为 ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 得分 评阅人 三、解答题：（共1题，共20分） 用分离变量法求解初边值问题： 解：设解为 则 于是 （常数） 即 (1) (2) 由边界条件推知， (3) 下面解特征值问题(1), (3). 情形1. 则(1)的通解为： . 代入边界条件(3)得：，这时特征值问题（1），（3）只有平凡解. 情形2. 则(1)的通解为： . 代入边界条件(3)得：这时特征值问题（1），（3）也只有平凡解. 情形3. 则（1）的通解为：