2016届上海市徐汇区高三一模数学(理科)试题及答案.doc

2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科（理科）参考答案及评分标准 　 　 2016.1 填空题：(本题满分56分，每小题4分) １． ２． 3． 4．　5． 6．　 7．16　　　　 8．0　 9．28 10．　 11．9 　　12． 13． 14． 二．选择题：（本题满分20分，每小题5分） 15．A　　　16．Ｄ　　　17．A　　　18．Ｃ 解答题：（本大题共题，满分分），,所以平面,所以.又.所以平面.故.--------6分 在中，,所以.----8分 又在中，,所以.---10分 又因为平面,所以.----------12分 20．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 解：（1）设，则上式化为，， 即，---------------------------------------------------------------------6分 （2）因为 ，---------------------------10分 当，即时，--------------------------------------------------12分 当或，即或时，．---------------------------14分 21．（本题满分16分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 解：（1）由已知得， 即（其中）-----------------------------------------------6分 （2）记，则，则有， 解得或---------------------------------------------------------------------10分 由于，所以，当，即点在中垂线上离点距离为km处, 取得最小值（km）．-------------------------------------------------14分 22．（本题满分16分；第（1）小题3分，第（2）①小题6分，第（2）②小题7分） 解：（1）---------------------------------------------------------------3分 （2）①当时，所以---------------------------------4分 当时， 两式相减得所以 又 所以，数列是以为首项、为公比的等比数列.--------------------------9分 ②由①知： ； 又， 由于 所以由推得 所以对任意的正整数恒成立.-----------13分 因为所以 ------14分 由，得， 但且，所以解得，所以--------------------16分 23．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题9分） 解：（1）由于直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，所以，在等腰直角中，圆心到直线的距离为，同理，------------------------------------4分 （2）由题知，直线关于原点对称，因为圆的圆心为原点，所以，故四边形为平行四边形.易知，点在对角线上. 联立解得，由得 ，所以， 于是，因为，所以四边形为正方形.----------------9分 证明：假设椭圆存在内接正方形，其四个顶点为. 当直线的斜率不存在时，设直线、的方程为，因为在椭圆上，所以，由四边形为正方形，易知，，直线、的方程为，正方形的面积.---------------------12分 当直线的斜率存在时，设直线、的方程分别为， 显然.设，联立得 ，所以 代人，得，同理可得 ，因为为正方形，所以解得 因为，所以，因此，直线与直线关于原点对称，所以原点为正方形的中心（由知，四边形为平行四边形） 由为正方形知， 即 代人得，解得（注：此时四边形为菱形） 由为正方形知，因为直线与直线的距离为，故 但，由得 即，与矛盾.所以，这与矛盾.即当直线的斜率存在时，椭圆内不存在正方形. 综上所述，椭圆的内接正方形有且只有一个，且其面积为.--18分 - 1 -