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不要相信直觉！那些概率统计的奇妙结论 HYPERLINK /i/0480701098/ \o 严酷的魔王 严酷的魔王 2011-07-15 16:42:58 基于经验的直觉判断很多时候并不靠谱，尤其是在面对概率统计问题的时候。下面死理性派就来介绍三个与直觉相反的奇妙概率现象，除了证明经验在这个领域的无用之外，更为你展示了概率统计的奇妙之处。 对于概率和统计的不确定性，我们始终有足够的直觉。虽然如此，这依旧远远不够，多数人对概率的理解其实并不充分。要知道这是一个数学家稍有闪失就会错的一塌胡涂的领域，原因很多时候正是我们的直觉，而正确结论却与之相悖。我们不妨来看看几个概率统计中的奇妙结论，这也正是概率统计这门学科的魅力所在。 贝特朗奇论 在单位圆内随机地取一条弦，其长超过该圆内接等边三角形的边长√3的概率等于多少？ 这个问题看似简单，结果却让人大跌眼镜。我们可以用三个完全正确的方法，得到三个完全不同的答案！ 1.将弦的一段固定在等边三角形的某一个顶点上，然后另一端绕着圆周旋转。可以在图一中发现，只有当另一端点位于上方的圆弧时，这条弦的长度才会超过三角形的边长，由此可得所求概率为1/3。 2.根据几何学原理，圆内弦的长度与弦到圆心的距离有关。从图二可以看出，当弦心距小于1/2时，这条弦的长度大于三角形边长，所以这样求出的概率为1/2。 3.再来考虑一条弦的中点，根据图三可以得出：只有当弦的中点位于半径为1/2的小圆内部时这条弦的长度才满足要求，同时因为这个小圆的面积是大圆的1/4，所以所求概率也是1/4。 你能说出到底哪种方法是错的吗？如果它们都是对的，那么这样的一道客观题又怎么会有三个不同的答案呢？ 其实这三种说法都是正确的。但是它们的结果之所以不同，只是因为它们各自对问题的理解不同，采用了不同的等可能性假定。在第一种方法中，我们默认的假设是“圆内弦的端点在圆周上是均匀分布的”；在第二种方法中，我们默认的是“圆内弦到圆心的距离是均匀分布的”；第三种方法默认的假设则是“圆内弦的中点在整个圆的内部是均匀分布的”。这三种假设对应着三种不同的求解方法。 需要说的是，随意指责哪个假设是不合理的有所不妥，因为它们都是有依据的。不妥的地方在问题本身，这个问题问的并不严谨，没有对问题中的“基本空间”进行定义，导致在解题人求解时只能够依靠自己的理解补充解题所需条件。如此一来，一问三解就不足为怪了。 上述问题被称为“贝特朗奇论”，是数学家贝特朗在上世纪初提出来的，用于批判当时尚不严谨的概率论。也正是在贝特朗工作的推动下，此后概率论的研究开始向公理化方向发展。 本福特法则 据说，1881年天文学家西蒙?纽康伯发现对数表以1起首的数所在的那几页较其他页破烂，由此他怀疑以1开头的数字就是比其他数多，大量统计之后发现果真如此。这个故事的真实性已无从考究，不过它可能是本福特法则第一次被注意到。 所谓本福特法则，是指在一堆从实际生活得出的数据中，以1为首位数字的数的出现概率约为总数的三成，是人们通常期望值1/9的3倍，它的确切值等于lg2，而越大的数字，以它为首位的数出现的机率就越低。更一般地，我们能够说明在r进制中，以n开头的数字出现的概率是 log r (n+1)- log r (n)。根据这个公式，可以制作出十进制下数字1~9开头的概率表： 开头 1 2 3 4 5 6 7 8 9 概率 30.1% 17.6% 12.5% 9.7% 7.9% 6.7% 5.8% 5.1% 4.6% 这个神奇的法则几乎完全违背了人们的直觉：哪个数字开头的概率不应该是一样的嘛！ 维基百科上对此有个简单的解释：就数数而言，从1开始，历经1,2,3,...,9，到这点终结的话，以哪个数起首的几率是相同的，但9之后是10至19，到这里以1起首的数出现的几率又大大高于了其他的数。而在下一堆9起首的数出现之前，必然会经过一堆以2,3,4,...,8起首的数。如果这种数法一旦有个终结点，以1起首的数的出现率一般都会比9大。 也就是说，我们平时认为的“以1开头和以9开头的数字一样多”这种情况，实际只有在[1,999]此类区间里才会出现。任意给一个区间，由于样本的不完整性，基本不可能出现这种情况。从这里也可以看出，要想使得本福特法则生效，便不能对数字的区间范围进行明确的规定。 说到这里，大家自然会进而关心本福特法则在实际生活中的应用。我们可以在 HYPERLINK /BenfordsLaw.html \t _blank 这个页面 下方列出的表格中看到，不论是各国人口数量还是门牌号码都基本服从本福特法则，而且这些统计得到的结果和理论预测值的误差也很小。从而这些生活中的实例也说明了以1开头的数字确实是最多的，死理性派对此曾有过 HYPERLINK /article/520/ \t _bl