直线倾斜角求法.doc

直线倾斜角的求法 直线的倾斜角反映了直线的倾斜程度，在后面的学习中占有重要的地位，它是研究直线、直线与圆及直线与圆锥曲线位置关系的是基础.因此，必须熟练掌握求直线的倾斜角的方法与技巧.下面介绍三种求法及相应的注意事项. 一、根据斜率求倾斜角 如果直线的斜率为k，倾斜角为α，则①当k不存在时，α＝eq \f(p,2)；②当k≥0时，?＝arctank；当k＜0时，?＝?＋arctank. 例求经过两点A（2，1）和B（m,2）(m∈R)的直线Ｌ的倾斜角α的值. 解析：(1)当m＝2时，斜率k不存在，?＝eq \f(?,2)； (2)当m≠2时，斜率k＝eq \f(1,m－2)， ①当m＞2时，斜率k＞0，?＝arctgeq \f(1,m－2)∈(0，eq \f(?,2))； ②当m＜2时，斜率k＞0，?＝?＋arctgeq \f(1,m－2)∈(eq \f(?,2)，?) 点拨：利用公式k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)求得斜率时，要考虑到直线斜率的存在性，因此本题对参数m进行了m＝2与m≠2分类.同时要破除一种常见的错误认识：斜率不存在，倾斜角也不存在. 二、利用数形结合求倾斜角 A解答此类问题的主要方法是根据直线与其它直线的位置关系，运用倾斜角的定义，借助几何图形的直观性求解. A 例2已知直线l1的倾斜角为α1＝15?，直线l1与l2的交点A，把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转与l1直线重合时所转的最小正角为60?，求直线l2的倾斜角. 解析：设直线l2的倾斜角为α2，如图所示 则由图可知，180?－α2＋15?＝60?， 所以α2＝135?. 点拨：从本题的求解结果，不难发现，当两直线具有某种位置关系时，它们的倾斜角或斜率有相应的关系；反过来，还可以根据两条直线的倾斜角或斜率之间的关系，判断两条直线的位置关系. 三、利用分类讨论确定倾斜角 在求直线的倾斜角过程中，如果遇到一些不确定的变量(如斜率、字母、角度等)时，要根据倾斜角的倾斜角的范围进行合理的分类，确定出相应的倾斜角. 例3已知直线y＝x·cot?＋sin?（－-eq \f(p,3)＜?＜eq \f(7p,4)），试用?表示直线的倾斜角?. 解析：由直线的斜率tanθ＝cot?＝tan（eq \f(p,2)－?）， 因为－eq \f(p,3)＜?＜eq \f(7p,4)，∴－eq \f(5p,4)＜eq \f(p,2)－?＜eq \f(?,6)，所以eq \f(p,2)－?不一定为直线的倾斜角，需对eq \f(p,2)－?按所在象限讨论： ①当0≤eq \f(p,2)－?＜eq \f(?,6)，即eq \f(p,3)＜?≤eq \f(p,2)时，θ＝eq \f(p,2)－?； ②当－eq \f(p,2)≤eq \f(p,2)－?＜0，即eq \f(p,2)＜?≤π时，eq \f(p,2)≤eq \f(3p,2)－?＜π，tanθ＝tan(eq \f(3p,2)－?)，所以θ＝eq \f(3p,2)－?； ③当－π≤eq \f(p,2)－?＜－eq \f(p,2)，即π＜?≤eq \f(3p,2)时，0≤eq \f(3p,2)－?＜eq \f(p,2)，tanθ＝tan(eq \f(3p,2)－?)，所以θ＝eq \f(3p,2)－?； ④当－eq \f(5p,4)＜eq \f(p,2)－?＜－π，即eq \f(3p,2)＜?＜eq \f(7p,4)时，eq \f(3p,4)＜eq \f(5p,2)－?＜π，tanθ＝tan(eq \f(5p,2)－?)，所以θ＝eq \f(5p,2)－?； 综上所述，直线的倾斜角?=eq \b \lc\{ (\s( , , , , ))eq \s(eq \f(p,2)－?，?∈?－eq \f(p,3)，eq \f(p,2)?,eq \f(3p,2)－?，?∈?－eq \f(p,2)，eq \f(3p,2)?,eq \f(5p,2)－?，?∈?eq \f(3p,2)，eq \f(7p,4)?). 点拨：对于等式tanθ＝tan??θ＝?成立的充要条件是θ与?同属于正切函数y＝tanx的一个单调区间内.本题由于不直接判断θ与?是否属于函数y＝tanx的同一单调区间，因此对θ进行了讨论.