2010.9.21导数基本概念和运算.ppt

变化率与导数、导数的计算;基础知识梳理;基础知识梳理;基础知识梳理;3．几种常见函数的导数 (1)C′＝ (C为常数)； (2)(xn)′＝ (n∈Q*)； (3)(sinx)′＝ ； (4)(cosx)′＝ ； (5)(ex)′＝ ； (6)(ax)′＝ ； ;;基础知识梳理;5．复合函数的导数 设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数，且y′x＝ 或写作f′x(φ(x))＝ ．;1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于(　　) 答案：B ;2．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为(　　) A．3 B．－3 C．5 D．－5 答案：A ;3．函数y＝xcosx－sinx的导数为(　　) A．xsinx B．－xsinx C．xcosx D．－xcosx 答案：B ;4．(教材习题改编)已知f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝2.则x0＝________. ;5．已知点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，在点P的切线垂直于直线x＋2y＋3＝0，则点P的坐标为________． 答案：(－2,15)，(2，－9) ;1．运用可导函数求导法则和导数公式，求函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导数的基本步骤： (1)分析函数y＝f(x)的结构和特征； (2)选择恰当的求导法则和导数公式求导； (3)整理得结果． ;2．对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质把真数转化为有理式或整式求解更为方便． ;课堂互动讲练;【思路点拨】;课堂互动讲练;课堂互动讲练;课堂互动讲练;【误区警示】　(1)运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则；(2)特别是商的求导法则，求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因． ;函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．因此求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可． ;课堂互动讲练;【思路点拨】　首先要判断已知点是否在曲线上，再根据切线的斜率即导数值列方程解决问题． ;【解】　(1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6， ∴点(2，－6)在曲线上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝3×22＋1＝13. ∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)． 即y＝13x－32. 4分;(2)法一：设切点为(x0，y0)， 则直线l的斜率为f′(x0)＝3x02＋1， ∴直线l的方程为： y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16. 又∵直线l过点(0,0)， ∴0＝(3x02＋1)(－x0)＋x03＋x0－16， 整理得x03＝－8， 6分 ∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，;∴k＝3(－2)2＋1＝13， ∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26). 8分 法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)， ;课堂互动讲练;课堂互动讲练;即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)． 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14. 12分 【误区警示】　解题过程中，很容易把所给的点当作曲线上的点，错误原因是没有把点代入方程进行检验． ;课堂互动讲练;解：由M(－1，f(－1))在x＋2y＋5＝0上得 －1＋2f(－1)＋5＝0，即f(－1)＝－2.;课堂互动讲练;1．曲线的切线的求法 若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解． (1)点P(x0，y0)是切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成： ;第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))． 第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)． 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入方程求出x1. 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程