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一道导数压轴题突破的过程 1 问题缘起 最近复习函数与导数，笔者给学生做了一道大市调研试卷的压轴题，效果不是特别理想，很多学生做对第一问，第二问就无从下手或半途而废了。在解导数综合题时，方法是否得当，常常是问题能否顺利解决的关键所在。在解题时学生一般从条件出发，观察试验，向前推进，但经常是阻碍重重，失去方向，只能望题兴叹。如何进行有效的引导，教会学生突破导数的压轴题呢？笔者在教学中发现，应在方法的突破和细节的处理上下功夫。以下笔者摘录教学片段和大家共同探讨。 例题 （2009年南京市高考模拟试题） 已知定义在实数集上的偶函数的最小值为，且当时，（为常数）. （1）求函数的解析式； （2）求最大的整数，使得存在实数，对任意的，都有. 本题难度接近高考，考查的是函数与导数中的典型方法和基本技能，第一问较简单，第二问和不等式结合且字母较多，再加上“存在”和“任意”的表述，难度较大。如何突破，教学过程如下。 2 教学片段 2.1 经历了思维的困境，对方法进行反思 教师出示问题，请同学快速做答，因为第一问较容易，学生很快完成，但第二问明显卡壳，推进缓慢，教师巡视。 师：（十五分钟后）大部分同学都有了自己的想法，但能成功解决的并不多，现在请大家谈谈自己的想法和做法。 生1：第一问我很快得出结果，过程如下： （1）因为是增函数，所以当时，也是增函数. 又因为是偶函数，所以，又最小值是，故. 当时，因为，所以. 综上知， 师：很好，即使是压轴题，第一问我们都应该能很好地解决的。那第二问呢？ 生1：第二问我尝试特殊化，将端点代入得到一些不等关系，过程如下： （2）因为时，有，故. 当时，，，，； 当时，同理可得，；从而. 同样地，由及，得. 由的存在性知，上述关于的不等式在区间上必有解. 到这里我就不知道怎么解决了。 师：巡视过程中我发现很多同学用这种方法，都是取两个端点代入，但大部分同学都和生1一样无法继续突破，那么就用这种方法，如何有效突破难点呢？请大家继续思考！ 2.2 解法突破的过程 2.2.1 导数开路，零点帮忙，巧渡难关 过了十分钟，有同学举手。 生2：我也是用生1的方法，得到关于的不等式在区间上必有解. 因为在区间上的最小值为，所以，即 ① 令，则，由，得. 当时，，是减函数；当时，，是增函数； 故的最小值是 又，，而 由此可见，方程在区间上有唯一解， 且当时，；当时，.即在时满足不等式①的最大实数解是. 而当时，， 在时，因为，所以； 在时，. 综上所述，的最大整数值是. 师：很好！生2构造函数，然后利用导数求最值，结合零点定理逐步缩小并确定的值。这种突破的方法在函数与导数的综合题中经常用到，希望同学们能熟练掌握！ 2.2.2 先猜后证，正反结合，旗开得胜 生3：我感觉整数的值不会太大，所以我通过特殊值先猜出的值为4，再进行证明，非常高兴我成功了！过程如下： 满足条件的最大整数为. 先证符合题意， 取当时，因为，所以； 当时，， 令，则， 由，得. 当时，，是减函数；当时，，是增函数； 故的最大值是和中的较大者. 因为，，故， 即当时，. 再证时不符合题意，因为不等式对成立，所以必有， 因为，所以， 这说明时不成立. 综上所述，的最大整数值是. 师：生3的成功告诉我们不是每道题都是顺题而解，有时我们可以先猜后证，这样我们相当于先得到结果，这样就占据了主动，目标就十分明确，更加有信心完全解决问题。对于一些较难问题，这种突破方法屡见不鲜，应加以足够的重视！ 2.2.3 恒等变形，变量分离，出奇制胜 生4：我通过变形转化为非常基本的问题，更加简捷易懂。由（1）得到，我想这不就是绝对值函数吗，得到 代入得到， 由题对恒成立，即 所以， ． 令，，所以； 令，，， 要使存在，只要，即． 令，则，所以在上为单调减函数， 且. 所以满足条件的最大整数的值为4． 师：十分精彩！生4的做法简捷明了，既避免了分类讨论，又将这一较难问题转化成十分基本的问题。关注细节的变化，威力往往是巨大的，难点的突破显得那么自然，那么通俗易懂，这是我们突破难点的非常高的境界。 3 教后反思： 面对具体问题，特别是压轴题，学生本身潜意识就有一点恐惧的心理，教师要灵活选择教学方式，舍得在课堂上花时间让学生暴露自己的思维过程，分析其思维受阻原因及对策，发现不足，扬长避短。 较难问题往往不止一种解法，高考试卷的压轴题经常有十种左右的解法，每一种解法都是一个思维的结果，然而教师往往忽视思维形成的过程，学生只能作为教师解题的观察者和欣赏者，并没有切身的体会，思维能力没有得到真正的提高。教师应引导学生进行解题后的反思，不仅能有效地帮助学生巩固知识、技能，而且对提高学生